Формула Гаусса — Бонне

Фо́рмула Га́усса — Бонне́ пов'язує Ейлерову характеристику області двовимірного многовида з кривиною Гаусса в цій області та геодезичною кривиною кривої, яка обмежує область.

Формулювання

Нехай $\mathrm{\Omega }$ — компактний двовимірний орієнтований ріманів многовид із гладкою межею $\partial \mathrm{\Omega }$. Позначимо через $K$ гаусову кривину $\mathrm{\Omega }$ та через $k_g$ геодезичну кривину $\partial \mathrm{\Omega }$. Тоді

$(1)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma +{\oint }_L{k}_{g}ds=2\pi \chi (\mathrm{\Omega })$

де $\chi (\mathrm{\Omega })$ — ейлерова характеристика $\mathrm{\Omega }$.

Зокрема, якщо у $\mathrm{\Omega }$ межа відсутня, отримуємо спрощений вираз

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }Kd\sigma =2\pi \chi (\mathrm{\Omega })$

Якщо поверхня деформується, то її ейлерова характеристика не змінюється, в той час як гаусова кривина може змінюватися в кожній точці. Проте, згідно з формулою Гаусса — Бонне, інтеграл гаусової кривини залишається не змінним.

Пояснення позначень

Топологія областей інтегрування

Область $\mathrm{\Omega }$ обмежена. Але вона може бути доволі складною, мати одну або кілька компонент зв'язності:

$(2)\mathrm{\Omega }={\mathrm{\Omega }}_1+{\mathrm{\Omega }}_2+\dots$

Очевидно, що при цьому перший інтеграл в формулі (1) розбивається на суму інтегралів по компонентах.

Кожна з цих компонент ${\mathrm{\Omega }}_i$ в свою чергу може бути топологічно складною.

Зокрема область $\mathrm{\Omega }$ може повністю покривати замкнутий многовид (наприклад сферу, тор, …) і не мати межі зовсім — тоді другого інтеграла в формулі (1) не буде:

$(3)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma =2\pi \chi (\mathrm{\Omega })$

В інших випадках межа $L_i$ області ${\mathrm{\Omega }}_i$ може складатися з одного контуру (наприклад якщо область гомеоморфна кругу), або більшої кількості контурів $L_{ij}$ (наприклад якщо область є кільцем між двома концентричними колами):

$(4)L_i=\sum _j{L}_{ij}$

В цих випадках інтеграл по межі $L$ також розбивається на суму інтегралів по $L_{ij}$.

Кривини

Буквою $K$ під першим інтегралом (1) позначено кривиною Гаусса другого степеня, яка для двовимірного многовида дорівнює половині скалярної кривини:

$(5)K=K^{[2]}=\frac{R}{2}$

Геодезична кривина ${𝐤}_g$ кривої взагалі кажучи є вектором, ортогональним до одиничного дотичного вектора $\mathit{\tau }=\frac{d𝐫}{ds}$, і який лежить у многовиді. Але в формулі (1) через $k_g$ позначено скалярну величину — проєкцію вектора геодезичної кривини на напрям нормалі, напрямленої всередину області $\mathrm{\Omega }$.

Запишемо вищесказане математично. Компоненти вектора геодезичної кривини обчислюються через тензорну похідну одиничного дотичного вектора ${\tau }^i$ по натуральному параметру кривої:

$(6)k_g^i=\frac{D{\tau }^i}{Ds}=\frac{d{\tau }^i}{ds}+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{\tau }^j{\tau }^k$

Нормаль до вектора ${\tau }^i$ можна утворити дією одиничного антисиметричного тензора ${\epsilon }^{ij}$, а тому (при належному виборі напрямку обходу контуру):

$(7)k_g^i=k_g{\epsilon }^{ij}{\tau }_j$

Коефіцієнт $k_g$ в правій частині формули (7) той самий, який стоїть під другим інтегралом в формулі (1).

Злами на контурах

В попередньому підпункті ми розглядали гладкий контур $L$. Але неважко, використовуючи граничний перехід, узагальнити формулу (1) для кусково-гладкої межі яка складається з гладких дуг, що сходяться під деяким кутом між собою (дивіться наприклад статтю Геодезичний трикутник).

Якщо в точці зламу $P_i$ дотичний вектор $\mathit{\tau }$ розвертається на кут ${\varphi }_i$ в сторону області $\mathrm{\Omega }$ (може бути додатне чи від'ємне число) то формула (1) узагальнюється до такої:

$(8)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma +{\oint }_L{k}_{g}ds+\sum _i{\varphi }_i=2\pi \chi (\mathrm{\Omega })$

В цій формулі другий інтеграл береться по гладких ділянках дуг межі $L$.

Для виводу формули (8) область $\mathrm{\Omega }$, яка має злами на межі, треба апроксимувати областю $\tilde{\mathrm{\Omega }}$, яка має згладжені кути. Потім радіус закруглення на кутах спрямовуємо до нуля.

Ейлерова характеристика

Обмежену двовимірну область $\mathrm{\Omega }$ можна розбити лініями на кілька менших підобластей ${\mathrm{\Omega }}_1,{\mathrm{\Omega }}_2,\dots$, гомеоморфних кругу. Лінії в свою чергу можна поділити точками на дуги, гомеоморфні відрізку. Якщо позначити кількість точок буквою $B$ (вершини графу), кількість дуг буквою $P$ (ребра графу), а кількість підобластей буквою $\mathrm{\Gamma }$ (грані), то наступне ціле число:

$(9)\chi =B-P+\mathrm{\Gamma }$

не залежить від способу розбивки області $\mathrm{\Omega }$ і називається характеристикою Ейлера. Для кожної підобласті ${\mathrm{\Omega }}_k$ можна знайти карту (систему координат $\{u^1,u^2\}$), яка відображає область Евклідової площини в ${\mathrm{\Omega }}_k$.

Три етапи доведення теореми Гаусса — Бонне

На першому етапі доводимо теорему для простої області, гомеоморфної кругу, з гладкою границею. На другому етапі граничним переходом поширюємо теорему на просту область з кутами. На третьому (топологічному) етапі об'єднуємо та склеюємо прості області в довільну область і показуємо, що при операціях об'єднання та склейки формула (1) залишається справедливою.

Перший етап доведення

Обчислення характеристики Ейлера

Обчислимо характеристику Ейлера для простої області $\mathrm{\Omega }$. Межа цієї області є контуром $L$, гомеоморфним колу. Поставимо на цьому контурі дві точки $P$ і $Q$, які розбивають наш контур на дві дуги, гомеоморфні відрізку. Маємо дві вершини, два ребра і одну грань — саму область $\mathrm{\Omega }$, тому за формулою (9) маємо:

$(10)\chi =B-P+\mathrm{\Gamma }=2-2+1=1$

і нам треба довести наступну формулу для цього випадку:

$(11)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma +{\oint }_L{k}_{g}ds=2\pi$

Вектори на контурі

Паралельний обхід контура вектором v

Візьмемо точку $P$ на контурі $L$. Позначимо буквою $𝐧$ вектор нормалі до контуру, напрямлений всередину області $\mathrm{\Omega }$. При належному виборі напрямку обходу контуру компоненти цього вектора виражаються через дотичний вектор ${\tau }^i$ та одиничний антисиметричний тензор ${\epsilon }_{ij}$:

$(12)n_i={\epsilon }_{ij}{\tau }^j$

При обході контуру, очевидно, вектори $𝐧$ і $\mathit{\tau }$ повернуться на кут $2\pi$ і збіжаться з початковими значеннями цих векторів.

Щоб простежити, як здійснюється цей поворот, розглянемо паралельне перенесення векторів. Як відомо, при паралельному перенесенні двох векторів зберігаються довжини векторів і кут між ними.

Нехай вектори $𝐯$ і $𝐰$ збігаються з векторами $\mathit{\tau }$ і $𝐧$ в початковій точці $P$, але потім при обході контуру переносяться паралельно і після обходу виявляються повернутими на деякий кут $\mathrm{\Delta }\alpha$. Ці два вектора утворюють ортонормований базис:

$(13){𝐯}^2={𝐰}^2=1,(𝐯\cdot 𝐰)=0$

$(14)w_i={\epsilon }_{ij}{v}^j$

Розкладемо одиничний дотичний вектор $\mathit{\tau }$ за базисом $\{𝐯,𝐰\}$:

$(15)\mathit{\tau }=𝐯\cos \phi +𝐰\sin \phi$

де $\phi$ — кут, на який повернутий вектор $\mathit{\tau }$ відносно вектора $𝐯$. На початку обходу $\phi ={\phi }_0=0$.

В кінці обходу вектор $\mathit{\tau }$ повернеться на кут $2\pi$, а вектор $𝐯$ на кут $\mathrm{\Delta }\alpha$, тому:

$(16){\phi }_1=2\pi -\mathrm{\Delta }\alpha$

Повороти векторів на контурі і геодезична кривина

Маємо такі тензорні диференціали векторів вздовж контуру:

$(17)D{\tau }^i=d{\tau }^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{\tau }^{j}d{u}^k=k_g^{i}ds$

$(18)D{v}^i=d{v}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{v}^{j}d{u}^k=0$

$(19)D{w}^i=d{w}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{w}^{j}d{u}^k=0$

тому при диференціюванні рівності (15) одержуємо:

$(20)k_g^{i}ds=-v^i\sin \phi d\phi +w^i\cos \phi d\phi =$

$={\epsilon }^{ij}(w_j\sin \phi +v_j\cos \phi )d\phi ={\epsilon }^{ij}{\tau }_{j}d\phi$

Порівнюючи формули (20) і (7) знаходимо:

$(21)k_{g}ds=d\phi$

$(22){\oint }_L{k}_{g}ds=\underset{{\phi }_0}{\overset{{\phi }_1}{\int }}d\phi =2\pi -\mathrm{\Delta }\alpha$

Порівнюючи формули (22) і (11) одержуємо таку формулу, яку нам лишається довести:

$(23)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma =\mathrm{\Delta }\alpha$

Застосування формули Остроградського — Гаусса

В лівій частині формули (23) стоїть інтеграл по двовимірній області $\mathrm{\Omega }$, а в правій — поворот вектора при паралельному перенесенні довкола межі $L$ області $\mathrm{\Omega }$, який природно буде виразити через контурний інтеграл. Ці два інтеграла — інтеграл по двовимірній області і інтеграл по межі цієї області можна пов'язати через застосування формули Остроградського — Гаусса. Але для цього нам знадобиться допоміжне векторне поле, яке визначене і диференційовне скрізь всередині області $\mathrm{\Omega }$ та на її межі $L$.

Вибір допоміжного векторного поля

Оскільки на контурі $L$ нас можуть цікавити лише кути між векторами а не їхні довжини, то доцільно вибрати допоміжне векторне поле $𝐚$ одиничної довжини, причому не лише на контурі, а і скрізь всередині області $\mathrm{\Omega }$:

$(24){𝐚}^2=g_{ij}{a}^i{a}^j=g_{11}(a^1{)}^2+2g_{12}{a}^1{a}^2+g_{22}(a^2{)}^2=1$

Очевидно що умова (24) разом з неперервністю поля $𝐚$ накладає деякі обмеження — це поле не може мати всередині $\mathrm{\Omega }$ точок завихрення або точок, із яких вектори розходяться (або навпаки, сходяться) в різні боки. В усьому іншому поле $𝐚$ досить довільне.

Наприклад (хоч і необов'язково) можна взяти вектор напрямлений вздовж одного з координатних векторів. Коваріантні координати цього вектора:

$(25)a^1=\frac{1}{\sqrt{g_{11}}},a^2=0$

Обчислення повороту вектора при паралельному перенесенні по контуру

Вектор (a) всередині контура

На контурі $L$ розкладемо одиничний вектор $𝐚$ по базису $\{𝐯,𝐰\}$:

$(26)a^i=v^i\cos \alpha +w^i\sin \alpha$

Тут вектори $𝐯$ і $𝐰$ ті ж самі що і раніше в цій статті — здійснюють паралельний обхід контуру.

Кут $\alpha$ між векторами $(\widehat{𝐯,𝐚})$ є функцією від натурального параметра $s$ на контурі $L$:

$(27)\alpha =\alpha (s);\alpha (0)={\alpha }_0,\alpha (s_{\text{max}})={\alpha }_1$

Оскільки при обході контуру вектор $𝐚$ не змінює напрямку, а вектор $𝐯$ повертається на кут $\mathrm{\Delta }\alpha$ то:

$(28)\mathrm{\Delta }\alpha =-({\alpha }_1-{\alpha }_0)$

Знак мінус в цій формулі виник внаслідок того, що повертається сам базис, відносно якого ми міряємо $\alpha$.

Продиференціюємо формулу (26) вздовж кривої $L$:

$(29)D{a}^i=(-v^i\sin \alpha +w^i\cos \alpha )d\alpha$

Тензорний диференціал вектора $𝐚$ можна записати через коваріантну похідну:

$(30)D{a}^i=d{a}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{a}^{j}d{u}^k=({\partial }_k{a}^i+{\mathrm{\Gamma }}_{jk}^i{a}^j)d{u}^k=({\mathrm{\nabla }}_k{a}^i){\tau }^{k}ds$

Права ж частина формули (29) виражається через вектор:

$(31)b_i={\epsilon }_{ij}{a}^j={\epsilon }_{ij}(v^j\cos \alpha +w^j\sin \alpha )=w_i\cos \alpha -v_i\sin \alpha$

який є одиничним вектором, повернутим на кут $\frac{\pi }{2}$ щодо вектора $𝐚$.

Одержання контурного інтеграла

Підставивши (30) і (31) в формулу (29), ми одержимо векторне рівняння:

$(32)({\mathrm{\nabla }}_k{a}^i){\tau }^{k}ds=b^{i}d\alpha$

в якому нас цікавить скалярна функція $\alpha =\alpha (s)$.

Помножимо (32) скалярно на одиничний вектор $b_i$ і візьмемо інтеграл:

$(33)\underset{0}{\overset{s_{\text{max}}}{\int }}(b_i{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i){\tau }^{k}ds=\underset{0}{\overset{s_{\text{max}}}{\int }}d\alpha ={\alpha }_1-{\alpha }_0=-\mathrm{\Delta }\alpha$

Інтеграл в лівій частині цієї рівності фактично є інтегралом по контуру.

Для застосування формули Остроградського — Гаусса нам потрібно, щоб підінтегральний вираз був скалярним добутком деякого вектора $𝐪$ на вектор зовнішньої нормалі (в наших старих позначеннях це $-n_i=-{\epsilon }_{ij}{\tau }^j$).

Фактичне застосування формули Остроградського — Гаусса

Домножимо рівняння (12) на ${\epsilon }^{ik}$, після цього знайдемо дотичний вектор ${\tau }^k$:

$(34){\epsilon }^{ik}{n}_i=\left({\epsilon }^{ik}{\epsilon }_{ij}\right){\tau }^j={\delta }_j^k{\tau }^j={\tau }^k$

і підставити його в підінтегральний вираз формули (33), одночасно перейменовуючи індекси:

$(35)(b_i{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i){\tau }^k=\left({\epsilon }^{ik}{b}_l{\mathrm{\nabla }}_k{a}^l\right)n_i$

Вираз у дужках в правій частині цього рівняння і буде тим вектором $𝐪$:

$(36)q^i={\epsilon }^{ik}{b}_l{\mathrm{\nabla }}_k{a}^l$

який підставляємо в рівняння (33):

$(37){\oint }_L(𝐪\cdot 𝐧)ds=-\mathrm{\Delta }\alpha$

Інтеграл являє собою потік вектора $𝐪$ всередину контуру $L$, враховуючи наш вибір напрямку нормалі $𝐧$. Застосовуючи формулу Остроградського — Гаусса (і враховуючи знак) маємо інтеграл від дивергенції:

$(38)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪)d\sigma =\mathrm{\Delta }\alpha$

Завершення обчислень

Порівнюючи формули (38) і (23) ми бачимо що для завершення першого етапу нам досить перевірити рівність підінтегральних виразів цих формул:

$(39)K=(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐪)={\mathrm{\nabla }}_i{q}^i$

Дивергенція вектора (36) розкладається на два доданка:

$(40){\mathrm{\nabla }}_j{q}^j={\mathrm{\nabla }}_j\left({\epsilon }^{jk}{b}_i{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i\right)={\epsilon }^{jk}\left({\mathrm{\nabla }}_j{b}_i\right)\left({\mathrm{\nabla }}_k{a}^i\right)+b_i{\epsilon }^{jk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i$

Розпочнемо з другого доданку, а ще краще з частини цього доданку окрім множника $b_i$. Оскільки тензор ${\epsilon }^{jk}$ антисиметричний, то:

$(41){\epsilon }^{jk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i=\frac{1}{2}{\epsilon }^{jk}({\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k-{\mathrm{\nabla }}_k{\mathrm{\nabla }}_j)a^i=\frac{1}{2}{\epsilon }^{jk}{R}_{sjk}^i{a}^s=\frac{1}{2}{\epsilon }^{jk}{R}_{jk}^{is}{a}_s$

Тензор Рімана для двовимірного многовида можна виразити через кривину Гаусса K:

$(42)R_{jk}^{is}=K({\delta }_j^i{\delta }_k^s-{\delta }_k^i{\delta }_j^s)$

Тому вираз (41) спрощується:

$(43){\epsilon }^{jk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i=\frac{K}{2}{\epsilon }^{jk}({\delta }_j^i{\delta }_k^s-{\delta }_k^i{\delta }_j^s)a_s=\frac{K}{2}2{\epsilon }^{is}{a}_s=K{b}^i$

а отже другий доданок формули (40) просто дорівнює Гауссовій кривині:

$(44)b_i{\epsilon }^{jk}{\mathrm{\nabla }}_j{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i=K{b}_i{b}^i=K$

Залишається показати, що перший доданок формули (40) дорівнює нулю.

$(45){\epsilon }^{jk}\left({\mathrm{\nabla }}_j{b}_i\right)\left({\mathrm{\nabla }}_k{a}^i\right)=0$

Це прямо слідує з того факту, що похідні одиничного двовимірного вектора факторизуються (розкладаються на множники):

$(46){\mathrm{\nabla }}_j{b}_i={\lambda }_j{a}_i,{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i={\mu }_k{b}^i$

Дійсно, підставляючи (46) в (45) одержимо вираз:

$(47)\left({\epsilon }^{jk}{\lambda }_j{\mu }_k\right)\left(a_i{b}^i\right)$

в якому скалярний добуток векторів в других дужках дорівнює нулю.

Нарешті покажемо справедливість розкладу (46). Із одиничності вектора $𝐚$ слідує:

$(48)a_i{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i=g_{ij}{a}^j{\mathrm{\nabla }}_k{a}^i=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_k\left(g_{ij}{a}^j{a}^i\right)=\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{k}1=0$

Оскільки вектор $𝐛$ також ортогональний до $𝐚$ то маємо наступну однорідну систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими $a_1,a_2$:

$(49)\{\begin{array}{c}({\mathrm{\nabla }}_k{a}^1)a_1+({\mathrm{\nabla }}_k{a}^2)a_2=0\\ b^1{a}_1+b^2{a}_2=0\end{array}$

Ця система має ненульовий розв'язок, тому матриця її коефіцієнтів:

$(50)\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\nabla }}_k{a}^1& {\mathrm{\nabla }}_k{a}^2\\ b^1& b^2\end{array}\right]$

вироджена і рядки цієї матриці пропорційні. Тобто ми маємо друге рівняння (46). Перше рівняння одержується аналогічно.

Формулу (11) доведено.

Другий етап доведення

Розглянемо просту область з кусково-гладкою межею. Ми можемо згладити всі кути, вписуючи гладку дугу $AB$ в кожен криволінійний кут $P$ (див. малюнок).

Закруглення криволінійного кута

Одержуємо область з гладкою межею, до якої можна застосувати теорему Гаусса — Бонне, доведену на першому етапі. Спробуємо здійснити граничний перехід формули (11) стягуючи дугу $AB$ в точку зламу $P$.

Перший інтеграл формули (11) для згладженої і незгладженої кривих, відрізняється на величину інтеграла по криволінійному трикутнику $ABP$

$(51)\underset{\mathrm{△}ABP}{\iint }Kd\sigma$

Оскільки площа цього трикутника прямує до нуля, а Гауссова кривина $K$ обмежена, то і величина (51) прямує до нуля. Отже при граничному переході перший інтеграл

$(52)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma$

зберігає свій вигляд, просто область $\mathrm{\Omega }$ може мати злами на контурі.

З другим (контурним) інтегралом складніше. Розглянемо спочатку випадок плоского многовида (евклідову площину). В цьому разі паралельне перенесення не залежить від шляху і тому можна говорити про кут між векторами, що знаходяться в різних точках. Інтегрування геодезичної кривини по дузі $AB$, згідно з формулою (22), дає кут між дотичними в точках $A$ і $B$:

$(53)\underset{⌣AB}{\int }{k}_{g}ds={\varphi }_A-{\varphi }_B$

При граничному переході ця величина прямує до кута $\varphi$ між двома дотичними векторами в точці зламу $P$:

$(54)\underset{⌣AB}{\int }{k}_{g}ds\to \varphi$

а інтеграли по (викинутих при згладжуванні) дугах $AP$ і $PB$ прямують до нуля, оскільки геодезична кривина цих дуг залишається обмеженою, а їхня довжина зменшується до нуля.

Із формули (54) слідує формула (8) при $\chi (\mathrm{\Omega })=1$, що і треба було довести.

Нам ще залишається довести, що формула (54) має місце і в загальному випадку викривленого многовида. Виберемо систему координат на мн оговиді в околі точки $P$ таку, що метричний тензор $g_{ij}$ в точці $P$ записується одиничною матрицею ${\delta }_{ij}$, а символи Крістофеля ${\mathrm{\Gamma }}_{ij}^s$ в цій точці дорівнюють нулю.

Дану систему координат $\{u^1,u^2\}$ можна розглядати як дифеоморфне відображення між областю многовиду та областю площини (картою), в якій ця система координат є декартовою.

Позначимо $dt$ елемент довжини кривої на карті:

$dt=\sqrt{(u^1{)}^2+(u^2{)}^2}$

а буквою з тильдою ${\tilde{k}}_g$ — геодезичну кривину кривої на карті. Тоді:

$(55)k_g={\epsilon }_{ij}{\tau }^i{k}^j={\epsilon }_{ij}\frac{d{u}^i}{ds}(\frac{d^2{u}^j}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^j\frac{d{u}^k}{ds}\frac{d{u}^l}{ds})$

$(56){\tilde{k}}_{g}dt={\hat{\epsilon }}_{ij}{\dot{u}}^i{\ddot{u}}^{j}dt$

$(57)k_{g}ds=\frac{\sqrt{g}}{{\dot{s}}^2}{\hat{\epsilon }}_{ij}{\dot{u}}^i({\ddot{u}}^j+{\mathrm{\Gamma }}_{kl}^j{\dot{u}}^k{\dot{u}}^l)dt$

Крапками позначено похідні по параметру $t$.

Із двох останніх формул уже можна зробити висновок про однаковість, з точністю до нескінченно малих доданків, двох інтегралів від геодезичної кривини по дузі $AB$, один з яких береться по многовиду, а другий по карті:

$\underset{⌣AB}{\int }{k}_{g}ds\simeq \underset{⌣AB}{\int }{\tilde{k}}_{g}dt$

але для цього потрібні два додаткових припущення щоб унеможливити надмірну довжину дуги $AB$ за рахунок осциляцій або закручувань у спіраль. А саме, припустимо що знак геодезичної на дузі $AB$ є постійний, а також, що дуга $AB$ не має інших спільних точок з криволінійним кутом, окрім своїх кінців.

Дійсно, множник

$\frac{\sqrt{g}}{{\dot{s}}^2}=\frac{\sqrt{g}}{g_{11}{\cos }^2\alpha +2g_{12}\cos \alpha \sin \alpha +g_{22}{\sin }^2\alpha }\to 1$

прямує до одиниці, а символи Крістофеля до нуля внаслідок спеціального вибору системи координат.

Отже і в загальному випадку справедлива границя (54), а тому для простої області доведено варіант формули (8):

$(58)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma +{\oint }_L{k}_{g}ds+\sum _i{\varphi }_i=2\pi$

Третій етап доведення

Розіб'ємо топологічно складну область $\mathrm{\Omega }$ на скінченну кількість простих підобластей ${\mathrm{\Omega }}_i$, до кожної з яких можна застосувати формулу (58).

Розбивка на прості підобласті

Характеристика Ейлера обчислюється за формулою (9)

$\chi =B-P+\mathrm{\Gamma }$

де $B,P,\mathrm{\Gamma }$ позначають кількості вершин, ребер та граней (підобластей ${\mathrm{\Omega }}_i$). Для простоти доведення будемо вважати всі ребра одержаного графу гладкими кривими, а всі злами на контурах відбуваються при вершинах графу.

Зручно розглядати внутрішні кути ${\alpha }_{ij}$ при всіх вершинах графу. Тут перший індекс ($i$) нумерує всі вершини, як внутрішні, так і ті, що лежать на межі $\partial \mathrm{\Omega }$ області $\mathrm{\Omega }$.

Другий індекс ($j$) нумерує кути при вершині $A_i$.

Злам ${\varphi }_{ij}$ при вершині є доповненням до внутрішнього кута:

${\varphi }_{ij}=\pi -{\alpha }_{ij}$

і ми можемо знайти суму формул (58) для всіх підобластей ${\mathrm{\Omega }}_i$:

$(59)2\pi \mathrm{\Gamma }=\sum _{{\mathrm{\Omega }}_i}\underset{{\mathrm{\Omega }}_i}{\iint }Kd\sigma +\sum _{L_i}\underset{L_i}{\int }{k}_{g}ds+\sum _{A_i}\sum _j(\pi -{\alpha }_{ij})$

Розберемося з кожним із трьох доданків у правій частині формули (59).

Перший доданок, очевидно, дорівнює інтегралу по цілій області $\mathrm{\Omega }$:

$(60)\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma =\sum _{{\mathrm{\Omega }}_i}\underset{{\mathrm{\Omega }}_i}{\iint }Kd\sigma$

В другому доданку треба розрізняти зовнішні ребра $L_i\in \partial \mathrm{\Omega }$, які лежать на межі, від внутрішніх.

Інтегрування по внутрішньому ребру відбувається двічі, при розгляді двох суміжних підобластей, що розділяються даним ребром. Причому проєкції геодезичної кривини будуть протилежними:

$k_g=({𝐤}_g\cdot 𝐧)=-({𝐤}_g\cdot {𝐧}^{\prime })=-{k_g}^{\prime }$

A отже всі інтеграли по внутрішніх ребрах взаємно компенсуються і в сумі (59) лишаються тільки інтеграли по зовнішніх ребрах:

$(61)\sum _{L_i}\underset{L_i}{\int }{k}_{g}ds=\sum _{L_i\in \partial \mathrm{\Omega }}\underset{L_i}{\int }{k}_{g}ds$

Перейдемо до розгляду третього доданка формули (59). Для кожної внутрішньої вершини маємо:

$(62)\sum _j(\pi -{\alpha }_{ij})=\pi {\rho }_i-2\pi$

де ${\rho }_i$ — кількість кінців (внутрішніх) ребер, що сходяться в цій вершині.

Для вершини на межі області $\mathrm{\Omega }$ маємо:

$(63)\sum _j(\pi -{\alpha }_{ij})=\pi {\rho }_i+(\pi -{\hat{A}}_i)=\pi {\rho }_i+{\varphi }_i$

де ${\rho }_i$ також, як і в попередній формулі, позначає кількість кінців внутрішніх ребер, що сходяться у вершині $A_i$, а ${\varphi }_i$ позначає кут, на який повертається дотичний до лінії межі вектор при переході через точку $A_i$.

Оскільки кожне ребро має два кінця, то сума всіх цих кінців дорівнює подвоєній кількості внутрішніх ребер:

$(64)\sum _i{\rho }_i=2P_{\text{int}}$

і ми можемо записати для третього доданка:

$(65)\sum _{A_i}\sum _j(\pi -{\alpha }_{ij})=2\pi (P_{\text{int}}-B_{\text{int}})+\sum _{A_i\in \partial \mathrm{\Omega }}{\varphi }_i$

Очевидно, що межа $\partial \mathrm{\Omega }$ складається з декількох контурів, гомеомеорфних колу. На кожному такому контурі, а отже і на всій межі $\partial \mathrm{\Omega }$ кількість вершин $B_{\partial \mathrm{\Omega }}$ і кількість ребер $P_{\partial \mathrm{\Omega }}$ однакова. Маємо:

$(66)P_{\text{int}}-B_{\text{int}}=(P_{\text{int}}+P_{\partial \mathrm{\Omega }})-(B_{\text{int}}+B_{\partial \mathrm{\Omega }})=P-B$

Підставимо формули (60), (61), (65) і (66) в (59). Одержуємо:

$(67)2\pi \mathrm{\Gamma }=\underset{\mathrm{\Omega }}{\iint }Kd\sigma +\sum _{L_i\in \partial \mathrm{\Omega }}\underset{L_i}{\int }{k}_{g}ds+\sum _{A_i\in \partial \mathrm{\Omega }}{\varphi }_i+2\pi (P-B)$

що є еквівалентом формули (8). Теорему повністю доведено.

Історія

Окремий випадок цієї формули для геодезичних трикутників був отриманий Гауссом, проте він не опублікував її. В 1848 році її опублікував французький математик Бонне П'єр Осіян, який узагальнив формулу на випадок диска, обмеженого довільною кривою. У сучасному формулюванні формула вперше з'являється у Вільгельма Бляшке.