Теорема про середнє значення

Для будь-якої функції неперервної на [a, b] і диференціованої на (a, b) існує точка c у проміжку (a, b) така, що січна, що поєднує кінцеві точки проміжку [a, b] є паралельною до дотичної в c

Теоре́ма (формула) Лагра́нжа про скінче́нні при́рости. Доведена французьким математиком і механіком Жозефом Луї Лагранжем.

Формулювання теореми

Якщо функція $f$ неперервна на проміжку $[a,b]$, диференційовна в $(a,b)$, то знайдеться принаймні одна точка $c\in [a,b]$ така, що має місце формула:

$f^{\prime }(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Ця формула і називається формулою Лагранжа, або формулою про скінченні прирости.

Доведення

Розглянемо на проміжку $[a,b]$ наступну допоміжну функцію:

$F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)(1)$.

Перевіримо, що для функції $F(x)$ виконані всі умови теореми Ролля. І справді, $F(x)$ неперервна на проміжку $[a,b]$ (як різниця функції $f(x)$ та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжку $[a,b]$ має похідну:

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

З формули (1) очевидно, що $F(a)=F(b)=0$.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку $(a,b)$ знайдеться точка $c$ така, що

$F^{\prime }(c)=f^{\prime }(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0(2)$

З рівності (2) витікає формула Лагранжа. Слід відзначити, що не обов'язково вважати, що $b>a$.

Зауваження

У цьому випадку формулу Лагранжа отримано як наслідок з теореми Ролля. Проте, теорема Ролля сама є частковим випадком теореми Лагранжа.

Інша форма запису

Іноді буває зручно записати формулу Лагранжа у вигляді, дещо відмінному від початкового. Нехай $f(x)$ відповідає всім умовам теореми Ролля. Зафіксуємо будь-яке $x_0$ з проміжку $[a,b]$ та надамо йому довільний приріст $\mathrm{\Delta }x$, але такий, щоб значення $x_0+\mathrm{\Delta }x$ також належало до проміжку $[a,b]$. Тоді для проміжку $[x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]$, будемо мати:

$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=\mathrm{\Delta }x\cdot f^{\prime }(c)(3)$,

де $c$ — деяка точка, що лежить між $x_0$ та $x_0+\mathrm{\Delta }x$. Можна стверджувати, що знайдеться таке (залежне від $\mathrm{\Delta }x$) число $\theta$ з інтервалу $0<\theta <1$, що $c=x_0+\theta \mathrm{\Delta }x$. Таким чином, формулу (3) можна переписати як

$f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)=\mathrm{\Delta }x\cdot f^{\prime }(x_0+\theta \mathrm{\Delta }x)(4)$,

де $\theta$ — деяке число з інтервалу $0<\theta <1$. Формула Лагранжа у вигляді (4) дає точний вираз для приросту функції через викликавший його довільний скінченний приріст $\mathrm{\Delta }x$ аргумента. Цей вигляд формули Лагранжа виправдовує термін «формула скінченних приростів».

Геометрична інтерпретація

Щоб визначити геометричний зміст теореми Лагранжа відзначимо, що $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ є кутовий коефіцієнт січної, яка проходить через точки $(a,f(a))$ та $(b,f(b))$ кривої $y=f(x)$, $f^{\prime }(c)$ є кутовий коефіцієнт дотичної до кривої $y=f(x)$. Формула Лагранжа означає, що на кривій $y=f(x)$ між точками $x=a$ та $x=b$ знайдеться точка $x=c$ така, що дотична до кривої у цій точці буде паралельною січній.

Механічне значення

Якщо розглянути функцію $f(x)$ як функцію часу, тобто шлях тіла описується законом $s(t)=f(x)$, тоді різниця $f(b)-f(a)$ є шлях, пройдений тілом, а різниця $b-a$ є усім часом, який було витрачено на подолання шляху $f(b)-f(a)$. Отже, відношення всього шляху до часу, який витрачено на подолання цього часу є середня швидкість і визначається відношенням:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Тобто з механічної точки зору формула Лагранжа визначає середню швидкість тіла.

Див. також

• Теорема Больцано — Коші
• Жозеф-Луї Лагранж
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа-Луї Лагранжа

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Клепко ВМ