Теорема Стокса

Шаблон:Числення Теорема Стокса — одна із основних теорем диференціальної геометрії і математичного аналізу. Названа іменем ірландського фізика Джорджа Габріеля Стокса.

Узагальнена теорема

У термінах диференціальних форм теорема записується формулою

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d\omega =\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega$

тобто інтеграл від зовнішнього диференціалу форми $\omega$ по області $\mathrm{\Omega }$ дорівнює інтегралу від цієї форми по границі області. У одновимірному випадку твердження збігається з формулою Ньютона—Лейбніца. Випадок інтегрування по двомірній області називається формулою Гріна, по тривимірній області — формулою Остроградського.

Класична теорема

Розглядається гладке (неперервно диференційовне) векторне поле $𝐚$ в $n$-мірному просторі, в якому задана система координат $x^1,x^2,\dots x^n$. Якщо в цьому просторі заданий контур $L$ (замкнута крива), на який натягнуто двомірний многовид $S$, то формула Стокса пов'язує циркуляцію векторного поля при обході всього контуру з інтегралом від ротора цього поля по двомірному многовиду:

$(1){\oint }_L𝐚\cdot d𝐥=\underset{S}{\iint }\text{rot}𝐚d\sigma$

або в координатах:

$(1a){\oint }_L{a}_{i}d{x}^i=\underset{S}{\iint }\sum _{i<j}({\mathrm{\nabla }}_i{a}_j-{\mathrm{\nabla }}_j{a}_i)d{\sigma }^{ij}$

Окремо запишемо важливі часткові випадки цієї формули. Для випадку площини ($n=2$) ця формула називається формулою Гріна, її прийнято записувати в таких історичних позначеннях ($S$ — є частиною площини, обмеженою контуром):

$(2){\oint }_{L}Pdx+Qdy=\underset{S}{\iint }(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy$

Для фізики, особливо електродинаміки і гідродинаміки, важливою є формула Стокса в тривимірному просторі. Розглядаємо декартову систему координат $Oxyz$ з правою орієнтацією. Ротор вектора $𝐚=\{a_x,a_y,a_z\}$ можна позначати вектором з координатами:

$(\text{rot}𝐚{)}_x=(\mathrm{\nabla }\times 𝐚{)}_x={\mathrm{\nabla }}_z{a}_y-{\mathrm{\nabla }}_y{a}_z={\partial }_z{a}_y-{\partial }_y{a}_z$

$(\text{rot}𝐚{)}_y={\partial }_z{a}_x-{\partial }_x{a}_z$

$(\text{rot}𝐚{)}_z={\partial }_x{a}_y-{\partial }_y{a}_x$

Орієнтація елементарної площинки задається одиничним вектором нормалі $𝐧$. В цьому випадку формулу (1) можна записати через інтеграл по поверхні від скалярного добутку ротора і вектора нормалі:

$(3){\oint }_L𝐚\cdot d𝐥=\underset{S}{\iint }(\text{rot}𝐚\cdot 𝐧)dS$

Також, можна записати для тривимірного випадку формулу (1a) у виді суми трьох інтегралів по проєкціям контуру:

$(4){\oint }_L{a}_{x}dx+a_{y}dy+a_{z}dz=\iint ({\partial }_x{a}_y-{\partial }_y{a}_x)dxdy+\iint ({\partial }_y{a}_z-{\partial }_z{a}_y)dydz+\iint ({\partial }_z{a}_x-{\partial }_x{a}_z)dxdz$

Доведення

Спочатку обчислимо варіацію криволінійного інтеграла.

Розглянемо в $n$-мірному просторі криву $x^i=x^i(t)$, (параметр $t$ пробігає значення від нуля до одиниці $t\in [0,1]$), що сполучає дві точки $P$ (при $t=0$) і $Q$ (при $t=1$). Будемо розглядати інтеграл вздовж кривої як функціонал $\mathrm{\Phi }$, що залежить від кривої (крапкою зверху позначатимемо похідну по параметру $t$):

$(5)\mathrm{\Phi }=\underset{P}{\overset{Q}{\int }}{a}_{i}d{x}^i=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{a}_i{\dot{x}}^{i}dt$

Тепер розглянемо близьку криву ${\tilde{x}}^i=x^i+\delta x^i$, яка сполучає ті самі точки $P$ і $Q$. Варіація кривої $\delta x^i=\delta x_i(t)$ на кінцях перетворюється в нуль: $\delta x_i{|}_{t=0}=\delta x_i{|}_{t=1}=0$. Варіація функціоналу дорівнює:

$(6)\delta \mathrm{\Phi }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\delta (a_i{\dot{x}}^i)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\delta (a_i){\dot{x}}^{i}dt+\underset{0}{\overset{1}{\int }}{a}_i\frac{d(\delta x_i)}{dt}dt$

В першому інтегралі компоненти векторного поля $a_i$ залежать від координати точки кривої, яка варіюється (при незмінному параметрі $t$):

$a_i=a_i(x^1(t),x^2(t),\dots x^n(t))$

тому варіація векторного поля дорівнює:

$\delta a_i=\frac{\partial a^i}{\partial x^j}\delta x^j$

В другому інтегралі проведемо інтегрування частинами, і врахуємо, що варіація кінців нашої кривої дорівнює нулю:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{a}_i\frac{d(\delta x_i)}{dt}dt=a_i\delta x^i{|}_0^1-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{d{a}^i}{dt}\delta x^{i}dt=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial a^i}{\partial x^j}{\dot{x}}^j\delta x^{i}dt$

Зібравши ці два інтеграла до купи, одержуємо:

$(7)\delta \mathrm{\Phi }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial a^i}{\partial x^j}({\dot{x}}^i\delta x^j-{\dot{x}}^j\delta x^i)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial a^i}{\partial x^j}d{\sigma }^{ij}$

де введено позначення координат елементарної пощинки — антисиметричного тензора паралелограма між кривою і близькою до нею кривою:

$d{\sigma }^{ij}=({\dot{x}}^i\delta x^j-{\dot{x}}^j\delta x^i)dt=d{x}^i\delta x^j-d{x}^j\delta x^i$

Цей паралелограм побудований на векторах $d{x}^i,\delta x^i$. Дві вершини цього паралелограма ($x^i(t),x^i(t+dt)$) лежать на оригінальній кривій. а дві інших (${\tilde{x}}^i(t),{\tilde{x}}^i(t+dt)$) на близькій кривій.

Оскільки тензор $d{\sigma }^{ij}$ антисиметричний, то формулу (7) ми можемо записати так:

$(8)\delta \mathrm{\Phi }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial a^i}{\partial x^j}d{\sigma }^{ij}=-\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\partial a^j}{\partial x^i}d{\sigma }^{ij}=\frac{1}{2}\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\frac{\partial a^i}{\partial x^j}-\frac{\partial a^j}{\partial x^i})d{\sigma }^{ij}$

Згадуючи означення коваріантної похідної (див. Диференціальна геометрія), і враховуючи симетрію символів Крістофеля по нижніх індексах, маємо:

$\frac{\partial a^i}{\partial x^j}-\frac{\partial a^j}{\partial x^i}=({\partial }_j{a}_i-{\mathrm{\Gamma }}_{ji}^k{a}_k)-({\partial }_i{a}_j-{\mathrm{\Gamma }}_{ij}^k{a}_k)={\mathrm{\nabla }}_j{a}_i-{\mathrm{\nabla }}_i{a}_j$

Далі, в останньому інтегралі формули (8) доданки ненульові тільки тоді, коли індекси різні ($i\ne j$), причому для кожного доданка в сумі існує рівний йому за величиною доданок з переставленими індексами. Отже ми можемо залишити в сумі тільки половину доданків з неповторними парами індексів, і одночасно прибрати множник $\frac{1}{2}$.

$(9)\delta \mathrm{\Phi }=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\sum _{i<j}({\mathrm{\nabla }}_j{a}_i-{\mathrm{\nabla }}_i{a}_j)d{\sigma }^{ij}$

Тепер, маючи формулу (9) для варіації криволінійного інтеграла, уже легко доводити теорему Стокса. На замкнутому контурі $L$ візьмемо дві точки (не обов'язково різні, як це буде слідувати з подальших міркувань) $P$ і $Q$. Контур розіб'ється на дві різні криві $L_1$ i $L_2$, що сполучають ці точки. Виберемо напрям на обох кривих від точки $P$ до точки $Q$. Тоді символічно можна записати:

$L=L_1-L_2$

і контурний інтеграл можна записати у вигляді різниці.

$(10){\oint }_L{a}_{i}d{x}^i=\underset{L_1}{\int }{a}_{i}d{x}^i-\underset{L_2}{\int }{a}_{i}d{x}^i=\mathrm{\Phi }(L_1)-\mathrm{\Phi }(L_2)$

Тепер розглянемо двомірний многовид $S$, натягнутий на даний контур. Ми можемо розглядати плавну деформацію кривої на $S$, почавши з кривої $L_2$, і закінчуючи кривою $L_1$ (проміжні положення деформованої кривої нагадують густий пучок меридіанів, що сполучають Північний і Південний полюси на карті Східної чи Західної півкулі Землі). Різницю функціоналів у формулі (10) ми можемо записати у вигляді інтеграла за формулою Ньютона-Лейбніца:

$(11)\mathrm{\Phi }(L_1)-\mathrm{\Phi }(L_2)=\underset{L_2}{\overset{L_1}{\int }}\delta \mathrm{\Phi }=\underset{S}{\iint }\sum _{i<j}({\mathrm{\nabla }}_j{a}_i-{\mathrm{\nabla }}_i{a}_j)d{\sigma }^{ij}$

Порівняння формул (10) і (11) завершує доведення теореми Стокса.

Див. також

• Потенціальне векторне поле
• Теорема Остроградського — Гаусса

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:MathWorld