Арифметична геометрія

Згідно з теоремою Фалтінгса, гіпереліптична крива, задана рівнянням$y^2=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)$ має лише скінченну кількість раціональних точок (таких як точки $(-2,0)$ і $(-1,0)$).

У математиці арифметична геометрія — це наближене застосування методів алгебричної геометрії до задач теорії чисел. Арифметична геометрія зосереджена навколо діофантової геометрії, вивчення раціональних точок алгебричних многовидів.

В абстрактніших термінах арифметичну геометрію можна визначити як дослідження схем Шаблон:Нп над спектром кільця цілих чисел.

Огляд

Класичним об'єктом інтересу в арифметичній геометрії є раціональні точки: множини розв'язків Шаблон:Нп над числовими полями, скінченними полями, p-адичними полями або Шаблон:Нп, тобто полями, які не є алгебрично замкнутими, за винятком дійсних чисел. Раціональні точки можна безпосередньо схарактеризувати Шаблон:Нп, які вимірюють їх арифметичну складність.

Структура алгебричних многовидів, визначених над неалгебрично замкнутими полями, стала центральною сферою інтересів, яка виникла з розвитком алгебричної геометрії. Шаблон:Нп забезпечує Шаблон:Нп над скінченними полями, пов'язані з алгебричними многовидами. Шаблон:Нп дає інструменти для дослідження того, коли когомологічні властивості многовидів над комплексними числами поширюються на многовиди над p-адичними полями.

Історія

XIX століття: рання арифметична геометрія

На початку XIX століття Карл Фрідріх Гаусс зауважив, що ненульові цілі розв'язки однорідних поліноміальних рівнянь із раціональними коефіцієнтами існують, якщо існують ненульові раціональні розв'язки.

У 1850-х роках Леопольд Кронекер сформулював теорему Кронекера — Вебера, представив теорію дивізорів і встановив численні інші зв'язки між теорією чисел і алгеброю. Потім він сформулював свою Шаблон:Нп («найдорожча мрія юності»), узагальнення, яку пізніше Гільберт висунув у модифікованій формі як його дванадцяту проблему, яка окреслює мету змусити теорію чисел працювати лише з кільцями, які є частками кілець многочленів над цілими числами.

Початок-середина XX століття: алгебричні розробки та гіпотези Вейля

Наприкінці 1920-х років Андре Вейль продемонстрував глибокі зв'язки між алгебричною геометрією та теорією чисел у своїй докторській праці, яка привела до Шаблон:Нп, яка демонструє, що множина раціональних точок абелевого многовиду є скінченнопородженою абелевою групою.

Сучасні основи алгебричної геометрії розробили на основі сучасної комутативної алгебри, включно з теорією нормування та теорією ідеалів, Оскар Зарицький та інші в 1930-х і 1940-х роках.

У 1949 році Вайль висунув знакові гіпотези Вейля про локальні дзета-функції алгебричних многовидів над скінченними полями. Ці гіпотези заклали зв'язок між алгебричною геометрією та теорією чисел, що спонукало Александра Гротендіка в 1950-х і 1960-х роках переробити основи, використовуючи теорію пучків (разом із Жаном-П'єром Серром), а пізніше теорію схем. 1960 року Шаблон:Нп довів одну з чотирьох гіпотез Вейля (раціональність локальної дзета-функції). Гротендік розробив теорію етальної когомології і до 1965 року довів дві гіпотези Вейля (разом із Шаблон:Нп і Шаблон:Нп). Останню з гіпотез Вейля (аналог гіпотези Рімана) остаточно довів 1974 року П'єр Делінь.

Середина-кінець XX століття: розвиток модульності, p-адичних методів і далі

Між 1956 і 1957 роками Шаблон:Нп і Горо Шимура висунули гіпотезу Таніями — Шимури (тепер відому як теорема модулярності), яка пов'язує еліптичні криві з модульними формами. Цей зв'язок, зрештою, приведе до Шаблон:Нп великої теореми Ферма в теорії чисел за допомогою методів алгебричної геометрії (Шаблон:Нп), які 1995 року розробив Ендрю Вайлс.

У 1960-х роках Горо Шимура ввів Шаблон:Нп як узагальнення Шаблон:Нп. Від 1979 року многовиди Шимури відіграють вирішальну роль у Шаблон:Нп як природне джерело прикладів для перевірки припущень.

У статтях 1977 та 1978 років Шаблон:Нп довів Шаблон:Нп, надавши повний список можливих торсійних підгруп еліптичних кривих над раціональними числами. Перше Мазурове доведення цієї теореми залежало від повного аналізу раціональних точок на деяких модулярних кривих. 1996 року Шаблон:Нп поширив доведення торсійної гіпотези на всі числові поля.

1983 року Герд Фалтінгс довів гіпотезу Морделла, продемонструвавши, що крива роду, більшого від 1, має лише скінченну кількість раціональних точок (де теорема Морделла — Вейля демонструє лише скінченне породження множини раціональних точок на відміну від скінченності).

2001 року доведення Шаблон:Нп ґрунтувалося на геометрії деяких многовидів Шимури.

У 2010-х роках Петер Шольце розробив Шаблон:Нп та нові теорії когомології в арифметичній геометрії над p-адичними полями із застосуванням до Шаблон:Нп та деяких випадків гіпотези вагової монодромії.

Див. також

• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Гіпотеза Берча та Свіннертона-Даєра
• Модулі ріманової поверхні
• Шаблон:Нп
• Шаблон:Нп
• Теорія категорій
• Шаблон:Нп