Симпліційна множина

Симпліційна множина — теоретико-категорна конструкція, яка узагальнює поняття симпліційного комплексу і в певному сенсі моделює поняття топологічного простору з «хорошими» властивостями: теорія гомотопій для симпліційних множин еквівалентна класичній теорії гомотопій для топологічних просторів. При тому, що симпліційна множина є чисто алгебраїчною конструкцією, забезпечується практично повний паралелізм з геометричними об'єктами; в зв'язку з цим вважається одним з найважливіших об'єктів в алгебричній топології як з методологічної точки зору, так і з інструментальної Шаблон:Sfn.

З точки зору теорії категорій симпліційна множина є симпліційним об'єктом у категорії множин, або, еквівалентно, як передпучок симпліційної категорії в категорію множин.

Означення та структура

Симпліційною множиною $X$ називається контраваріантний функтор з симпліційної категорії в категорію множин: ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐒𝐞𝐭$.

Оскільки кожен морфізм симпліційної категорії породжується морфізмами ${\delta }_i^n:[n-1]\to [n]$ і ${\sigma }_i^n:[n+1]\to [n]$ ($0\le i\le n$), заданими як:

${\delta }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j<i\\ j+1,& j\ge i\end{array}$,

${\sigma }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j\le i\\ j-1,& j>i\end{array}$,

то симпліційну множина можна задати як систему $n$-шарів $X_n$, пов'язаних відповідними (двоїстими до $\delta$ і $\sigma$) відображеннями $d_i^n:X_n\to X_{n-1}$ і $s_i^n:X_n\to X_{n+1}$, що задовольняють співвідношення:

$d_i^n{d}_j^{n+1}=d_{j-1}^n{d}_i^{n+1}$, якщо $i<j$,

$s_i^n{s}_j^{n-1}=s_{j+1}^n{s}_i^{n-1}$, якщо $i\le j$,

$d_i^{n+1}{s}_j^n=\{\begin{array}{cc}{s}_{j-1}^{n-1}{d}_i^n,& i<j\\ {𝖨𝖽}_{X_n},& (i=j)\vee (i=j+1)\\ s_j^{n-1}{d}_{i-1}^n,& i>j+1\end{array}$.

Точки шару $X_n$ називаються $n$-мірним симплексами, до того ж точки шару $X_0$ — вершинами, а шару $X_1$ — ребрами. Морфізми $d_i^n$ називаються операторами граней, а морфізми $s_j^n$ — операторами виродження.

Шаблон:Якір Симпліційне відображення — (функторний) морфізм між симпліційного множинами $f:X\to X^{\prime }$симпліційного відображення також може бути розглянуто як сукупність відображень $f_n:X_n\to {X_n}^{\prime }$, для яких виконуються умови:

$d_i^n{f}_n=f_{n-1}{d}_i^n$ ($0\le i\le n$),

$s_i^n{f}_n=f_{n+1}{s}_i^n$ ($0\le i\le n$).

Шаблон:Якір Симпліційна множина $X$ називається симпліційною підмножиною $X^{\prime }$, якщо всі шари $f_n:X_n\to {X_n}^{\prime }$ симпліційного відображення $f:X\to X^{\prime }$ є ін'єктивними відображеннями; в цьому випадку оператори граней і оператори виродження в $X$ є звуженнями відповідних операторів для $X^{\prime }$.

Шаблон:Якір Симпліційною фактор-множиною називається симпліційна множина, що отримується пошаровою факторизацією симпліційної множини, тобто, $X/\sigma$ - набір шарів $X_n/\sigma$, до того ж оператори граней і виродження шарів-фактор-множини індукуються відповідними операторами множини $X$.

Симпліційні множини з усіма симпліційними відображеннями між ними утворюють категорію ${𝐒𝐞𝐭}^{{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$ .

Симплекс $x\in X_n$ називається виродженим, якщо існує такий симплекс $y\in X_{n-1}$ і такий оператор виродження $s_i$, що $x=s_{i}y$.

Згідно леми Ейленберга — Зільбера будь-який симплекс $x\in X_n$в єдиний спосіб можна записати у виді $x=s_{i_k}\dots s_{i_1}y$, де $i_1<i_2<\dots <i_k$, а $y\in X_{n-k}$ — невироджених симплекс.

Найменша симпліційна підмножина у $X$, що містить всі його невироджені симплекси розмірності, меншої або рівної n, називається n-кістяком $X$.

Приклади

• Для будь-якого топологічного простору X можна ввести симпліційну множину S(X), що називається сингулярною симпліційною множиною простору X. Симплексами цієї множини є сингулярні симплекси простору X, тобто образи неперервного відображення стандартних симплексів ${\sigma }_n:{\mathrm{\Delta }}^n\to X$. Оператори граней $d_i$ і виродження $s_i$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_i{\sigma }^n(t_0,\dots ,t_{n-1})={\sigma }^n(t_0,\dots ,t_{i-1},0,t_i\dots ,t_{n-1})$,

$s_i{\sigma }^n(t_0,\dots ,t_{n+1})={\sigma }^n(t_0,\dots ,t_{i-1},t_i+t_{i+1},t_{i+2}\dots ,t_{n+1})$.

Відповідність $X\to S(X)$ є функтором з категорії топологічних просторів Тор в категорію симпліційних множин ${𝐒𝐞𝐭}^{{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$.

• Довільний абстрактний симпліційний комплекс K визначає симпліційну множину O(K), у якій симплексами розмірності n є (n + 1) — елементні послідовності $(x_0,...,x_n)$ вершин комплексу K, з властивістю, що в K існує такий симплекс s, що $x_i\in s$ для всіх елементів послідовності. Оператори граней $d_i$ і виродження $s_i$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_i(x_0,...,x_n)=(x_0,...,\widehat{x_i},...,x_n)$,

$s_i(x_0,...,x_n)=(x_0,...,x_i,x_i,x_{i+1},...,x_n)$.

де $\hat{\cdot }$ позначає, що відповідний елемент вилучається з послідовності.

Відповідність $X\to O(X)$ є функтором з категорії абстрактних симпліційних комплексів у категорію симпліційних множин ${𝐒𝐞𝐭}^{{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$.

• Для довільної групи $\pi$ можна ввести симпліційну множину $K(\pi )$, для якої симплексами розмірності $n$ є класи пропорційних (n + 1)-елементний послідовностей (за означенням $(x_0,...,x_n)(y_0,...,y_n)$, якщо існує такий елемент $a\in \pi$, що $a{x}_i=y_i$ для всіх $i=0,\dots ,n$). Оператори граней $d_i$ і виродження $s_i$ цієї симпліційної множини задаються формулами

$d_i(x_0:...:x_n)=(x_0:...:x_{i-1}:x_{i+1}:...:x_n)$,

$s_i(x_0:...:x_n)=(x_0:...:x_i:x_i:x_{i+1}:...:x_n)$.

$K(\pi )$ є прикладом симпліційної групи.

• Нехай дана категорія $\mathrm{\Delta }$ лінійно впорядкованих множин $[n]=\{0,1,2,...,n\},n\ge 0,$ та незменшуваних відображень, ${\mathrm{\Delta }}_{+}$ - підкатегорія категорії $\mathrm{\Delta }$, яка складається лише із зростаючих відображен, причому об'єкти ${\mathrm{\Delta }}_{+}=\mathrm{O}\mathrm{b}\mathrm{\Delta }.$ Розгляньмо $\mathrm{\forall }n>0\mathrm{\&}\mathrm{\forall }0\le i\le n$ зростаюче відображення ${\delta }_n^i:[n-1]\to [n]$, образи яких не містять $i\in [n].$ Для функтора $F:\mathrm{\Delta }\to \mathrm{A}\mathrm{b}$ визначений комплекс абелевих груп $C^n=F([n])$ й диференціалів $d^n=\sum _{i=0}^{n+1}(-1{)}^{i}F({\delta }_{n+1}^i)$ за $n\ge 0$ та $C^n=0$ за $n<0.$ При цьому $n$-ні когомології $\mathrm{\forall }n\ge 0$ є ізоморфними границі $\lim {}_{\mathrm{\Delta }}^{n}F$. Морфізм ${\delta }_n^i$ за $n>0\mathrm{\&}0\le i\le n$ переводиться імерсією Йонеди ${\mathrm{\Delta }}_{+}^{op}\to {\mathrm{\Delta }}_{+}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{s}$ у натуральне перетворення

${\mathrm{\Delta }}_{+}({\delta }_n^i,-):{\mathrm{\Delta }}_{+}([n],-)\to {\mathrm{\Delta }}_{+}([n-1],-),$

компоненти якого $[m]\in \mathrm{O}\mathrm{b}{\mathrm{\Delta }}_{+}$діють по формулі ${\mathrm{\Delta }}_{+}({\delta }_n^i,{\mathrm{I}\mathrm{d}}_{[m]})(f)=f\circ {\delta }_n^i.$

Властивості

Категорія симпліційних множин допускає індуктивні і проективні границі, що обчислюються на кожному шарі. Зокрема, для будь-яких симпліційних множин $X$ і $X^{\prime }$ визначені прямий добуток $X\times X^{\prime }$ і пряма сума $X\oplus X^{\prime }$, до того ж для всіх шарів:

$(X\times X^{\prime }{)}_n=X_n\times X{\text{'}}_n$,

$(X\oplus X^{\prime }{)}_n=X_n\oplus X{\text{'}}_n$.

Косимпліційна множина

Також використовується двоїсте поняття косимпліційної множини — коваріантного функтора з симпліційної категорії в категорію множин: $\mathrm{\Delta }\to 𝐒𝐞𝐭$. Косимпліційні множини мають аналогічну пошарову структуру з операторами граней і виродження (двоїстих до відповідних операторів симпліційних множин) і утворюють категорію ${𝐒𝐞𝐭}^{\mathrm{\Delta }}$.

Геометричне представлення

Стандартні симплекси ${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid (\sum _i{t}_i=1)\wedge (\mathrm{\forall }i{t}_i⩾0)\}$із стандартною топологією евклідового підпростору утворюють косимпліційний топологічний простір щодо операторів кограней ${\delta }_i$ і ковирождення ${\sigma }_i$, заданих формулами

${\delta }_i(t_0,\dots ,t_{n-1})=(t_0,\dots ,t_{i-1},0,t_i\dots ,t_{n-1})$,

${\sigma }_i(t_0,\dots ,t_{n+1}){=}^n(t_0,\dots ,t_{i-1},t_i+t_{i+1},t_{i+2}\dots ,t_{n+1})$.

Нехай на шарах $X_n$ симпліційної множини $X$введено дискретну топологію.

Розглянемо топологічний простір $|X|=(\underset{i=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨆}}{X}_i\times {\mathrm{\Delta }}^i)/(\sim )$, що є фактор-простором диз'юнктного об'єднання добутків вказаних топологічних просторів по відношенню еквівалентності породженому еквівалентностями:

$(d_{i}x,p)\sim (x,{\delta }_{i}p),x\in X_n,p\in {\mathrm{\Delta }}^{n-1}$,

$(s_{i}x,p)\sim (x,{\sigma }_{i}p),x\in X_n,p\in {\mathrm{\Delta }}^{n+1}$.

Для простору |X| існує клітинне розбиття, клітини якого знаходяться в бієктивній відповідності з невиродженими симплексами симпліційної множини X. Простір |X| із цим розбиттям називається геометричним представленням симпліційної множини X.

Симпліційне відображення $f:X\to X^{\prime }$визначає неперервне відображення $Rf:|X|\to |X^{\prime }|$для якого $Rf(x,p)=(f(x),p),x\in X_n,p\in {\mathrm{\Delta }}^n.$

Відповідність $X\to |X|$таким чином є функтором з категорії симпліційних множин ${𝐒𝐞𝐭}^{{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$ в категорію топологічних просторів Тор. Цей функтор є спряженим зліва до сингулярного функтора.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Симпліційна категорія
• Симпліційний комплекс

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book