Лема Йонеди

В теорії категорій, лема Йонеди — абстрактний результат про властивості функтора Hom. Вона є узагальненням теореми Келі в теорії груп (якщо розглядати групу як категорію з одним об'єктом). Лема дозволяє розглянути вкладення довільної категорії в категорію функторів з неї в Set. Лема Йонеди — важливий інструмент, який дозволив отримати багато важливих результатів в алгебраїчній геометрії і теорії представлень.

Загальний випадок леми

У довільній (локально малій) категорії для даного об'єкта A можна розглянути коваріантний функтор Hom, що позначається

$h^A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,-).$

$h^A$ переводить об'єкт $X$ у множину морфізмів $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X),$ а морфізм $f:X\to Y$ у морфізм $f\circ -$ (композицію із $f$ зліва) що переводить $g$ із $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)$ у морфізм $f\circ g$ у $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)$. Тобто,

$h^A(f)(g)=f\circ g$.

Нехай F — довільний функтор з C в Set. Лема Йонеди стверджує, що:

для будь-якого об'єкта A категорії C, натуральні перетворення з h^A в F знаходяться у взаємно-однозначній відповідності з елементами F(A):

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,F)\cong F(A).$

Для даного натурального перетворення Φ з h^A в F відповідний елемент F(A) це $u={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$, тобто натуральне перетворення однозначно визначається образом тотожного морфізма.

Окрім того ізоморфізм у твердженні леми є натуральним щодо об'єктів категорії і функторів з C в Set. А саме для довільного морфізму $f:A\to B$ виконується рівність $Ff({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A))=(\mathrm{\Phi }\circ h^f{)}_B({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)$(де $\mathrm{\Phi }\circ h^f$ — натуральне перетворення із $h^B$у F, для якого для $g\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,X)$визначається $(\mathrm{\Phi }\circ h^f)(g)={\mathrm{\Phi }}_A(g\circ f)\in F(X)$) і для довільного морфізму $\theta :F\to G$функторів із C в Set виконується рівність ${\theta }_A({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A))=(\theta \circ \mathrm{\Phi }{)}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A).$

Контраваріантна версія леми Йонеди розглядає контраваріантний функтор

$h_A=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,A),$

що відправляє X у множину Hom(X, A). Для довільного контраваріантного функтора G з C в Set

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,G)\cong G(A).$

Доведення

Доведення леми Йонеди подано на комутативній діаграмі:

Proof of Yoneda's lemma

Діаграма показує, що натуральне перетворення Φ повністю визначається ${\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)=u$, оскільки для будь-якого морфізма f: A → X

${\mathrm{\Phi }}_X(f)=(Ff)u.$

Більш того, ця формула задає натуральне перетворення для будь-якого u ∈ F(A). Справді нехай f: A → X і g: X → Y — деякі морфізми. Тоді $h_A(g)$ переводить $f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,X)$у $g\circ f\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,Y)$і ${\mathrm{\Phi }}_X(f)=(Ff)u$, а також ${\mathrm{\Phi }}_Y(g\circ f)=F(g\circ f)u=Fg\circ (Ff)u=(Fg){\mathrm{\Phi }}_X(f)$. Тому ${\mathrm{\Phi }}_Y(h^A(g)(f))=(Fg){\mathrm{\Phi }}_X(f)$і введене перетворення є справді натуральним.

Натуральність для об'єктів категорії випливає із рівностей $(\mathrm{\Phi }\circ h^f{)}_B({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B)={\mathrm{\Phi }}_B({\mathrm{i}\mathrm{d}}_B\circ f)=Ff({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A))$згідно з означенням натурального перетворення $\mathrm{\Phi }\circ h^f$ і заданням Φ через ${\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)=u$. Рівність ${\theta }_A({\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A))=(\theta \circ \mathrm{\Phi }{)}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$випливає з того, що $\theta ,\mathrm{\Phi }$є морфізмами функторної категорії Set^C і тому для них виконується правило композицій.

Доведення контраваріантного випадку є аналогічним.

Вкладення Йонеди

Окремий випадок леми Йонеди — коли функтор F також є функтором Hom. В цьому випадку коваріантна версія леми Йонеди стверджує, що

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,h^B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(B,A).$

Відображення кожного об'єкта A категорії C в відповідний hom-функтор h^A = Hom(A,-) і кожен морфізм f: B → A у відповідне натуральне перетворення Hom(f,-) задає контраваріантний функтор h^- з C в Set^C (тобто категорію коваріантних функторів із C в Set), або коваріантний функтор

$h^{-}:{𝒞}^{\text{op}}\to {𝐒𝐞𝐭}^{𝒞}.$

У цій ситуації лема Йонеди стверджує, що h^- — цілком унівалентний функтор, тобто задає вкладення C^op в категорію функторів в Set. У цих термінах можна також краще зрозуміти значення леми Йонеди. Нехай F — довільний функтор з C в Set, тобто F є об'єктом Set^C. Тоді можна ввести F для якого $F^{\prime }(A)=\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h^A,F).$Аналогічно можна ввести F'' і т. д. Лема Йонеди стверджує, що всі ці морфізми є ізоморфними і їх можна вважати одним об'єктом Set^C.

У контраваріантному випадку по лемі Йонеди

$\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,h_B)\cong \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B).$

Отже, h_- задає цілком унівалентний коваріантний функтор (вкладення Йонеди)

$h_{-}:𝒞\to {𝐒𝐞𝐭}^{{𝒞}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}.$

Зображувані функтори

Функтор F із деякої (локально малої) категорії C в Set називається зображуваним, якщо існує об'єкт A категорії і деякий натуральний ізоморфізм між F і функтором $h^A$. За означенням зображенням функтора називається вибір деякого об'єкта A і натурального ізоморфізму.

Важливим наслідком леми Йонеди є той факт, що зображення однозначно задається вибором об'єкта A категорії, а також елемента

$u\in F(A)$

для якого виконується умова: для довільного об'єкта B категорії C і будь-якого елемента

$x\in F(B)$

існує єдиний морфізм f: A → B для якого

$Ff(u)=x.$

Справді з означення зображення функтора випливає однозначний вибір деякого об'єкта A, а згідно леми Йонеди відповідне натуральне перетворення однозначно визначає деякий елемент

$u={\mathrm{\Phi }}_A({\mathrm{i}\mathrm{d}}_A)$

і тоді для морфізма f: A → B виконується рівність

${\mathrm{\Phi }}_B(f)=(Ff)u.$

Залишається лише довести, що натуральне перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли виконується додаткова умова. Перетворення буде ізоморфізмом тоді і тільки тоді, коли відображення

${\mathrm{\Phi }}_B:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(A,B)\to F(B)$

буде бієкцією для всіх об'єктів B. Але

${\mathrm{\Phi }}_B(f)=(Ff)u,$

тому таке відображення буде бієкцією тоді і тільки тоді, коли для будь-якого елемента

$x\in F(B)$

існує єдиний морфізм f: A → B для якого

$Ff(u)=x,$

що і треба було довести.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Cite book