Теорема Келі (теорія груп)

Теорема Келі — результат теорії груп, що стверджує, що будь-яка група $(G,\cdot )$ є ізоморфна деякій підгрупі групи перестановок елементів $G$. Теорема названа на честь англійського математика Артура Келі.

Твердження теореми

Нехай $(G,\cdot )$  — деяка група (скінченна чи нескінченна) і позначимо $Sym(G)$ її групу перестановок. Тоді твердження теореми можна записати у вигляді

${\mathrm{\exists }}_{H\subseteq Sym(G)}:G\approx H$. Де позначення $G\approx H$ означає ізоморфність групG і H.

Доведення

Визначимо функцію ${\phi }_g$ так: ${\mathrm{\forall }}_{g\in G}:{\phi }_g:G\to G:x\mapsto gx.$ Очевидно, що дане відображення є перестановкою (оберненим відображенням є ${\phi }_g:G\to G:x\mapsto g^{-1}x.$) тож $H=\{{\phi }_g|g\in G\}\subset Sym(G)$.

Визначимо тепер відображення:$T:G\to H:g\mapsto {\phi }_g$. Зважаючи, що різним $g\in G$ відповідають різні функції ${\phi }_g$ маємо $|H|=|G|$ і відображення T є бієктивним. Залишається лиш довести, що T є гомоморфізмом. Це випливає з наступних рівностей:

${\mathrm{\forall }}_{x\in G}{\mathrm{\forall }}_{g,g^{\prime }\in G}:T(g{g}^{\prime })(x)={\phi }_{g{g}^{\prime }}(x)=x\mapsto g{g}^{\prime }x=(x\mapsto gx)\circ (x\mapsto g^{\prime }x)$$={\phi }_g\circ {\phi }_{g^{\prime }}(x)=(T(g)\circ T(g^{\prime }))(x)$

Остаточно з того, що T є бієктивним відображенням і гомоморфізмом одержуємо $G\approx H$

Джерела

Українською

• Шаблон:Ref-uk Шаблон:Книга

Іншими мовами

• Шаблон:Курош.Теорія груп
• Шаблон:Rotman.An Introduction to the Theory of Groups