Симпліційна категорія

Симпліційна категорія (також симплекс-категорія, ординальне категорія) — категорія непустих скінченних ординалів, морфізмами в якій є монотонні функції. Відіграє важливу роль в алгебричній топології Шаблон:Sfn, є основною для таких конструкцій, як симпліційні об'єкти і симпліційні множини.

Позначається $\mathrm{\Delta }$, іноді — $𝐎𝐫𝐝$.

Означення

Об'єктами симпліційної категорії $\mathrm{\Delta }$ мають вид $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$, де $n$ — натуральне число, а морфізмами відображення $f:[n]\to [n^{\prime }]$ такі, що з $i⩽j$ випливає $f(i)⩽f(j)$. Іншими словами, об'єктами симпліційної категорії є скінченні порядкові числа, а морфізмами — нестрого монотонні функції між ними. Порядкове число $[0]$ є початковим об'єктом категорії, а $[1]$ — термінальним.

Властивості

Будь-який морфізм симпліційної категорії може бути породжений композицією морфізмів ($0⩽i⩽n$):

${\delta }_i^n:[n-1]\to [n]$,

${\sigma }_i^n:[n+1]\to [n]$,

заданих як:

${\delta }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j<i\\ j+1,& j⩾i\end{array}$ (зростаюче ін'єктивне відображення, що «пропускає» $i$),

${\sigma }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j⩽i\\ j-1,& j>i\end{array}$ (неспадне сюр'ективне відображення, що приймає значення $i$ двічі).

Більш того, для будь-якого $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathrm{\Delta }}([m],[n])$ існує єдине подання:

$f={\delta }_{i_s}^n{\delta }_{i_{s-1}}^{n-1}\dots {\delta }_{i_1}^{n-s+1}{\sigma }_{j_t}^{m-t}\dots {\sigma }_{j_2}^{m-2}{\sigma }_{j_1}^{m-1}$,

де $0⩽i_1<\dots <i_s⩽n$, $0⩽j_t<\dots <j_1<m$, $n=m-t+s$.

Ці морфізми задовольняють співвідношення:

${\delta }_j^{n+1}{\delta }_i^n={\delta }_i^{n+1}{\delta }_{j-1}^n$, якщо $i<j$,

${\sigma }_j^n{\sigma }_i^{n+1}={\sigma }_i^n{\sigma }_{j+1}^{i+1}$, якщо $i⩽j$,

${\sigma }_j^{n-1}{\delta }_i^n=\{\begin{array}{cc}{\delta }_i^{n-1}{\sigma }_{j-1}^{n-2},& i<j\\ {𝖨𝖽}_{[n-1]},& i=j\vee i=j+1\\ {\mathrm{\Delta }}_{i-1}^{n-1}{\sigma }_j^{n-2},& i>j+1\end{array}$

Дані співвідношення однозначно визначають морфізми $\delta$ і $\sigma$.

Пов'язані означення

Порядкове додавання  — біфунктор $+:\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\Delta }\to \mathrm{\Delta }$, заданий на порядкових числах як звичайне додавання:

$[n]+[n^{\prime }]=[n+n^{\prime }]$,

а для морфізму $f:[n]\to [n^{\prime }]$ і $g:[m]\to [m^{\prime }]$ за наступною схемою:

$(f+g)(i)=\{\begin{array}{cc}f(i),& 0⩽i⩽n-1\\ n^{\prime }+g(i-n),& n⩽i⩽n+m-1\end{array}$.

Симпліційна категорія з порядковим додаванням утворює строго моноїдальну категорію.

Шаблон:Якір У застосування також використовується поповнена симпліційна категорія (Шаблон:Lang-en) ${\mathrm{\Delta }}_{+}$ — симпліційна категорія, доповнена ордіналом $[-1]=\varnothing$: ${\mathrm{\Delta }}_{+}=\mathrm{\Delta }\cup [-1]$. Іноді доповнену симпліційну категорію називають алгебричною симпліційною категорією, в цьому випадку $\mathrm{\Delta }$ називають топологічною.

Геометричне представлення

Для об'єктів категорії $\mathrm{\Delta }$існує геометричне представлення за допомогою коваріантного функтора $\{0,1,\dots ,n\}\to {\mathrm{\Delta }}^n$ образами якого є стандартні симплекси рівні за означенням ${\mathrm{\Delta }}^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid (\sum _i{t}_i=1)\wedge (\mathrm{\forall }i{t}_i⩾0)\}$і морфізм $f_{*}:{\mathrm{\Delta }}^n\to {\mathrm{\Delta }}^m$, породжений морфізмом $f:[n]\to [m]$задається як $f_{*}(t_0,\dots t_n)=(s_0,\dots s_m),s_j=\sum _{f(i)=j}{t}_i.$

Інакше кажучи, образом i-ї вершини ${\mathrm{\Delta }}^n$ є $f(i)$-вершина симплекса ${\mathrm{\Delta }}^m$, а для всіх інших точок відображення продовжується лінійно по барицентричних координатах.

Тоді відображення $d_{*}^i$ переводить ${\mathrm{\Delta }}^n$ у i-ту грань симплекса ${\mathrm{\Delta }}^{n+1}$, а $s_{*}^j$переводить ${\mathrm{\Delta }}^n$ у ${\mathrm{\Delta }}^{n-1}$стискуючи j-ту і j+1 точки в одну точку.

Симпліційні і косимпліційні об'єкти

Симплектичним об'єктом категорії $𝒞$ називається довільний контраваріантний функтор $X:\mathrm{\Delta }\to 𝒞$. Аналогічно коваріантний функтор $X:\mathrm{\Delta }\to 𝒞$ називається косимпліційним об'єктом.

Симпліційний об'єкт можна повністю задати визначивши для кожного $n⩾0$ об'єкт $X_n$ (що називається n-м шаром, або n-ю компонентою симплектичного об'єкта $X$) і морфізми

$d_i=X({\delta }_i):X_n\to X_{n-1}$ (оператор граней)

$s_i=X({\sigma }_i):X_n\to X_{n-1}$ ((оператор виродження)).

Тоді симпліційний об'єкт можна ототожнити із системою $\{X_n,d_i,s_i\}$, де $X_n$ — об'єкти категорії $𝒞$ і морфізми $d_i:X_i\to i-1,0⩽i⩽n$ і $s_i:X_i\to i+1,0⩽i⩽n$ задовольняють співвідношення:

$d_i{d}_j=d_{j-1}{d}_i$, якщо $i<j$,

$s_i{s}_j=s_{j+1}{s}_i$, якщо $i⩽j$,

$d_i{s}_j=\{\begin{array}{cc}{s}_{j-1}{d}_i,& i<j\\ 𝖨𝖽,& i=j\vee i=j+1\\ s_j{d}_{i-1},& i>j+1\end{array}$.

За допомогою двоїстості у такий же спосіб можна задати і косимпліційні об'єкти.

Симпліційні відображення

Симпліційним відображенням $f:X\to Y$ (між двома симпліційними об'єктами однієї категорії) називається довільний морфізм функтора $X:\mathrm{\Delta }\to 𝒞$ в функтор $Y:\mathrm{\Delta }\to 𝒞$, тобто така система морфізмів $f_n:X_n\to Y_n,n⩾0$, для якої виконуються співвідношення

$d_i{f}_{n+1}=f_n{d}_i$, для $0⩽i⩽n+1$,

$s_i{f}_n=f_{n+1}{s}_i$, для $0⩽i⩽n$.

Симпліційною гомотопією $h:f\simeq g$ що зв'язує симпліційні $f,g:X\to Y$ відображення симпліційних об'єктів категорії $𝒞$, називається сім'я морфізмів $h_i:X_n\to Y_{n+1},0⩽i⩽n$ категорії, що задовольняють співвідношення:

$d_0{f}_0=f_n$,

$d_n{f}_n=g_n$,

$d_i{h}_j=\{\begin{array}{cc}{h}_{j-1}{d}_i,& i<j\\ d_j{h}_{j-1},& i=j>0\\ h_j{d}_{i-1},& i>j+1\end{array}$,

$s_i{h}_j=\{\begin{array}{cc}{h}_{j+1}{s}_i,& i⩽j\\ h_j{s}_{i-1},& i>j\end{array}$.

${\displaystyle }$Симпліційні об'єкти категорії $𝒞$ і їх симпліційні відображення утворюють категорію ${\mathrm{\Delta }}^{\circ }𝒞$. З введеними вище означеннями у цій категорії можна відтворити майже всю стандартну теорію гомотопій, що пояснює значення симпліційної категорії і симпліційних об'єктів в алгебричній топології.

Див. також

• Абстрактний симпліційний комплекс
• Симпліційна множина
• Транзитивне відношення
• Ергодичність
• Триангульована категорія

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book