Символічний степінь простого ідеала

В алгебрі, для кільця R і простого ідеала $𝔭$, символічним степенем порядку n ідеала $𝔭$ називається ідеал

${𝔭}^{(n)}={𝔭}^n{R}_{𝔭}\cap R=\{f\in R\mid \mathrm{\exists }s\in R\setminus 𝔭,sf\in {𝔭}^n\}.$

Висловлюючись термінологією алгебричної геометрії символічний степінь складається з функцій з нулями порядку n на многовиді визначеному $𝔭$.

Властивості

• Виконуються рівності: ${𝔭}^{(1)}=𝔭$ і якщо $𝔭$ є максимальним ідеалом, то ${𝔭}^{(n)}={𝔭}^n$.
• Символічний степінь є найменшим $𝔭$-примарним ідеалом, що містить ідеал ${𝔭}^n$.
• Якщо кільце R є нетеровим, тоді символічний степінь є $𝔭$-примарною компонентою в примарному розкладі ідеала ${𝔭}^n$.
• Якщо кільце R є нетеровим і для деякого простого ідеала $𝔭$ виконується рівність ${𝔭}^{(k)}={𝔭}^{(k+1)},$ то ідеал $𝔭$ є мінімальним простим ідеалом, тобто мінімальним елементом у множині простих елементів впорядкованій щодо включення.

Справді ${𝔭}^{(k)}={𝔭}^{(k+1)},$ тоді і тільки тоді коли ${𝔭}^k{R}_{𝔭}={𝔭}^{k+1}{R}_{𝔭}.$ Оскільки ${𝔭}^k{R}_{𝔭}$ є модулем над кільцем $R_{𝔭}$ і ${𝔭}^{k+1}{R}_{𝔭}=𝔭{𝔭}^k{R}_{𝔭}$ то ми отримуємо $𝔭{𝔭}^k{R}_{𝔭}={𝔭}^k{R}_{𝔭}$ і з леми Накаями випливає, що ${𝔭}^k{R}_{𝔭}=\{0\}.$ З останньої рівності, зокрема, випливає що всі елементи простого ідеала $𝔭R_{𝔭}$ є нільпотентними, тобто містяться в нільрадикалі кільця. Оскільки навпаки кожен простий ідеал містить нільрадикал, то $𝔭R_{𝔭}=\sqrt{0}$ і тому $𝔭R_{𝔭}$ є мінімальним простим ідеалом у кільці $R_{𝔭}$ і, як наслідок, $𝔭$ є мінімальним простим ідеалом у кільці R.

• Якщо $𝔭\subseteq 𝔮$ є простими ідеалами регулярного кільця R, то також ${𝔭}^{(n)}\subseteq {𝔮}^{(n)}.$

Приклад

Нехай кільце $A:=ℂ[x,y,z]/(xy-z^2)$ і $\overline{f}$ надалі позначатиме клас многочлена f у фактор кільці A.

Нехай $𝔭:=(\overline{x},\overline{z})$ (тобто ідеал породжений двома вказаними елементами). Даний ідеал є простим у кільці A. Неважко переконатися, що $\overline{x}\in ̸{𝔭}^2$ але натомість $\overline{x}\in {𝔭}^{(2)}$ (дійсно $\overline{y}\in A\setminus 𝔭$ і $\overline{x}\overline{y}={\overline{z}}^2\in {𝔭}^2$). Натомість $\overline{z}\in ̸{𝔭}^{(2)}$ і тому для даного кільця є послідовність строгих включень ідеалів $𝔭\supset {𝔭}^{(2)}\supset {𝔭}^2.$

Посилання

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії
• Melvin Hochster. Math 711: Lecture of September 7, 2007