Середнє логарифмічне

Тривимірний графік середнього логарифмічного.

У математиці, середнім логарифмічним називається функція двох невід'ємних чисел, що рівна частці їх різниці та логарифма їх частки. А саме

$\begin{array}{cc}{M}_{\text{lm}}(x,y)& =\underset{(\xi ,\eta )\to (x,y)}{\lim }\frac{\eta -\xi }{\ln \eta -\ln \xi },\\ & =\{\begin{array}{cc}0& x=0\vee y=0,\\ x& x=y,\\ \frac{y-x}{\ln y-\ln x}& x\ne y\wedge x,y>0\end{array}\end{array}$

Середнє логарифмічне зокрема використовується для задач теплообміну і масообміну.

Зв'язок з іншими середніми значеннями

• Середнє логарифмічне двох чисел є меншим, ніж середнє арифметичне, але більшим, ніж середнє геометричне (коли обидва числа є однаковими, то всі три середні є рівними цьому числу):

$\sqrt{x\cdot y}\le M_{\text{lm}}(x,y)\le \frac{x+y}{2}\text{ for all }x\ge 0\text{ and }y\ge 0.$

Ці нерівності можна отримати, наприклад, як наслідок нерівності Ерміта — Адамара.

• $\frac{L(x^2,y^2)}{L(x,y)}=\frac{x+y}{2}$ (Середнє арифметичне)

Інтерпретація в математичному аналізі

Теорема Лагранжа

Із теореми Лагранжа

$\mathrm{\exists }\xi \in (x,y):f^{\prime }(\xi )=\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$

середнє логарифмічне є значенням $\xi$, якщо за функцію $f$ взяти $\ln$:

$\frac{1}{\xi }=\frac{\ln x-\ln y}{x-y}$

і звідси

$\xi =\frac{x-y}{\ln x-\ln y}.$

Інтегрування

Середнє логарифмічне також можна інтерпретувати як площу під експоненційною кривою:

$L(x,y)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-t}{y}^t\mathrm{d}t$

$\begin{array}{ccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{1-t}{y}^t\mathrm{d}t& =& \underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^{t}x\mathrm{d}t\\ & =& x\underset{0}{\overset{1}{\int }}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t\mathrm{d}t\\ & =& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}}{\left(\frac{y}{x}\right)}^t{|}_{t=0}^1\\ & =& \frac{x}{\ln \frac{y}{x}}(\frac{y}{x}-1)\\ & =& \frac{y-x}{\ln y-\ln x}\end{array}$

Звідси зокрема легко отримати властивість $L(c\cdot x,c\cdot y)=c\cdot L(x,y)$.

Узагальнення

Через теорему Лагранжа

Середнє логарифмічне можна узагальнити на $n+1$ змінні розглянувши узагальнену теорему Лагранжа для розділених різниць для логарифма $n$-ї похідної. Тоді можна ввести

$L_{\mathrm{M}\mathrm{V}}(x_0,\dots ,x_n)=\sqrt[-n]{(-1{)}^{(n+1)}\cdot n\cdot \ln [x_0,\dots ,x_n]}$

де $\ln [x_0,\dots ,x_n]$ — розділена різниця логарифму.

Для випадку трьох змінних:

$L_{\mathrm{M}\mathrm{V}}(x,y,z)=\sqrt{\frac{(x-y)\cdot (y-z)\cdot (z-x)}{2\cdot ((y-z)\cdot \ln x+(z-x)\cdot \ln y+(x-y)\cdot \ln z)}}$.

Через інтегральний вираз

Узагальнення інтегралу, який дорівнює середньому логарифмічному дає інше узагальнення. Нехай $S$ — симплекс $S=\{({\alpha }_0,\dots ,{\alpha }_n):{\alpha }_0+\dots +{\alpha }_n=1\wedge {\alpha }_0\ge 0\wedge \dots \wedge {\alpha }_n\ge 0\}$ і для деякої міри $\mathrm{d}\alpha$ у якій об'єм симплекса дорівнює 1, отримуємо

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots ,x_n)=\underset{S}{\int }{x}_0^{{\alpha }_0}\cdot \dots \cdot x_n^{{\alpha }_n}\mathrm{d}\alpha$

За допомогою розділених різниць можна записати

$L_{\mathrm{I}}(x_0,\dots ,x_n)=n!\cdot \exp [\ln x_0,\dots ,\ln x_n]$.

Для випадку трьох змінних:

$L_{\mathrm{I}}(x,y,z)=-2\cdot \frac{x\cdot (\ln y-\ln z)+y\cdot (\ln z-\ln x)+z\cdot (\ln x-\ln y)}{(\ln x-\ln y)\cdot (\ln y-\ln z)\cdot (\ln z-\ln x)}$.

Див. також

• Середнє арифметичне
• Середнє геометричне

Література

• Шаблон:Cite book
• Stolarsky, Kenneth B.: Generalizations of the logarithmic mean Шаблон:Webarchive, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 2, Mar., 1975, pp 87–92