Рівняння Брейта

Рівняння Брейта — релятивістське хвильове рівняння, отримане Ґреґорі Брейтом у 1929 році на основі рівняння Дірака. Воно описує дві чи більше масивні частинки зі спіном 1/2 (наприклад, електрони), що взаємодіють електромагнітно з точністю до першого порядку теорії збурень. Воно враховує магнітні взаємодії та запізнювальні ефекти з точністю до 1/c². Коли інші квантові електродинамічні ефекти незначні, це рівняння демонструє добре узгодження з експериментом. Вперше воно було отримане з дарвінівського лагранжіану, а пізніше доведене в теорії поглинання Вілера-Фейнмана та, зрештою, в квантовій електродинаміці.

Вступ

Рівняння Брейта є не лише наближенням в термінах квантової механіки, а й в термінах теорії відносності, оскільки не є цілком інваріантним щодо перетворень Лоренца. Як і рівняння Дірака, воно трактує ядра як точкові джерела зовнішнього поля для частинок, які воно описує. Для N рівняння Брейта має вигляд (r_ij — відстань між частинками i та j):

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=(\sum _i{\hat{H}}_D(i)+\sum _{i>j}\frac{1}{r_{ij}}-\sum _{i>j}{\hat{B}}_{ij})\mathrm{\Psi }$

де

${\hat{H}}_D(i)=[q_i\varphi ({𝐫}_i)+c\sum _{s=x,y,z}{\alpha }_s(i){\pi }_s(I)+{\alpha }_0(I)m_0{c}^2]$

є гамільтоніаном Дірака (див. рівняння Дірака) для i-ї частинки з координатою r_i, а φ(r_i) — скалярний потенціал в цьому положенні. q_i — заряд частинки, тому для електрона q_i = — e. Одноелектронні діраківські гамільтоніани разом зі своїми миттєвими кулонівськими взаємодіями 1/r_ij формують оператор Дірака-Кулона. До цього Брейт додав наступний оператор (оператор Брейта):

${\hat{B}}_{ij}=-\frac{1}{2r_{ij}}[𝐚(i)\cdot 𝐚(j)+\frac{(𝐚(i)\cdot {𝐫}_{ij})(𝐚(j)\cdot {𝐫}_{ij})}{r_{ij}^2}]$,

де матриці Дірака для i-го електрона: a(i) = [α_x(i),α_y(i),α_z(i)]. Два доданки в операторі Брейта відповідають запізнювальним ефектам до першого порядку. Хвильова функція Ψ в рівнянні Брейта є спінором з 4^N елементами, оскільки кожен електрон описується діраківським біспінором з 4 елементами і повна хвильова функція є їхнім тензорним добутком.

Гамільтоніани Брейта

Повний гамільтоніан у рівнянні Брейта, так званий гамільтоніан Дірака-Кулона-Брейта (H_DCB) може бути розкладений на оператори енергії для електронів в магнітному та електричному полях, що є добре означеними у взаємодіях молекул з магнітними полями (наприклад, у випадку ядерного магнітного резонансу):

${\hat{B}}_{ij}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_1+...+{\hat{H}}_6$,

де

• ${\hat{H}}_0=\sum _i\frac{{\hat{p}}_i^2}{2m_i}+V$ — нерелятивістський гамільтоніан ($m_i$ — маса i-ї частинки)
• ${\hat{H}}_1=-\frac{1}{8c^2}\sum _i\frac{{\hat{p}}_i^4}{m_i^3}$ — пов'язаний з залежністю маси від швидкості: $E_{kin}^2-{\left(m_0{c}^2\right)}^2=m^2{v}^2{c}^2$.
• ${\hat{H}}_2=-\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{2r_{ij}{m}_i{m}_j{c}^2}[{\widehat{𝐩}}_i\cdot {\widehat{𝐩}}_j+\frac{r_{ij}(r_{ij}{\widehat{𝐩}}_i)\cdot {\widehat{𝐩}}_j}{r_{ij}^2}]$ — поправка, що частково враховує запізнення і може бути описана як взаємодія між магнітними дипольними моментами частинок, що з'являється внаслідок орбітального руху зарядів.
• ${\hat{H}}_3=\frac{{\mu }_B}{c}\sum _i\frac{1}{m_i}{𝐬}_i\cdot [𝐅({𝐫}_{ij})\times {\widehat{𝐩}}_i+\sum _{j>i}\frac{2q_i}{r_{ij}^3}{𝐫}_{ij}\times {\widehat{𝐩}}_j]$ — класична взаємодія між орбітальними магнітними моментами (що є наслідками орбітального руху зарядів) та спіновими магнітними моментами (так звана спін-орбітальна взаємодія). Перший доданок описує взаємодію спіна частинки з її власним орбітальним моментом (F(r_i) є електричним полем в місці розташування частинки), а другий доданок — з орбітальним моментом іншої частинки.
• ${\hat{H}}_4=\frac{ih}{8\pi c^2}\sum _i\frac{q_i}{m_i^2}{\widehat{𝐩}}_i\cdot 𝐅({𝐫}_i)$ — некласичний, властивий теорії Дірака доданок, що також називають дарвінівським доданком.
• ${\hat{H}}_5=4{\mu }_B^2\sum _{i>j}\{-\frac{8\pi }{3}({𝐬}_i\cdot {𝐬}_j)\delta ({𝐫}_{ij})+\frac{1}{r_{ij}^3}[{𝐬}_i\cdot {𝐬}_j-\frac{3({𝐬}_i\cdot {𝐫}_{ij})({𝐬}_j\cdot {𝐫}_{ij})}{r_{ij}^2}]\}$ — магнітно-моментна спін-спінова взаємодія. Перший доданок називається контактною взаємодією. Він ненульовий лише коли частинки знаходяться в одній точці. Другий доданок — класична взаємодія диполь-дипольного типу.
• ${\hat{H}}_6=2{\mu }_B\sum _i[𝐇({𝐫}_i)\cdot {𝐬}_i+\frac{q_i}{m_{i}c}𝐀({𝐫}_i)\cdot {\widehat{𝐩}}_i]$ — взаємодія спінового та орбітального магнітного моментів з зовнішнім магнітним полем H.

Де

$V=\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}$

та

${\mu }_B=\frac{e\hslash }{2mc}$

Див. також

• Лагранжіан Дарвіна
• Теорія поглинання Вілера-Фейнмана
• Позитроній
• Двочастинкові рівняння Дірака
• Рівняння Бете-Солпітера

Джерела

• H.A. Bethe, E.E. Salpeter, Quantum Mechanics of One- and Two-Electron Atoms, Plenum Press, New York 1977, pg.181