Розподіл Бейтса

Шаблон:Розподіл ймовірностей У теорії ймовірності та статистиці, розподіл Бейтс, названий на честь Ґрейс Бейтс, це ймовірнісний розподіл середнього послідовності статистично незалежних рівномірно розподілених випадкових величин на одиничному інтервалі. Цей розподіл іноді плутають з розподілом Ірвіна–Галла, яка є розподілом суми (не середнього) n незалежних випадкових величин, рівномірно розподілених з інтервалу [0, 1].

Означення

Розподіл Бейтса - це неперервний розподіл ймовірностей в середнього, X, n незалежних рівномірно розподілених випадкових величин з одиничного інтервалу, U_i:

$X=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{U}_k.$

Рівняння, що визначає функцію щільності розподіленої за Бейтсом випадкової величини Х є

$f_X(x;n)=\frac{n}{2(n-1)!}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})(nx-k{)}^{n-1}\mathrm{sgn}(nx-k)$

для Х з інтервалу (0,1), і нуль поза ним. Тут sgn(nx - k) позначає знак функції:

$\mathrm{sgn}(nx-k)=\{\begin{array}{cc}-1& nx<k\\ 0& nx=k\\ 1& nx>k.\end{array}$

Більш узагальнено, середнє n незалежних рівномірно розподілених випадкових величин на відрізку [а,b]

$X_{(a,b)}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{U}_k(a,b).$

матиме функцію щільності

$g(x;n,a,b)=f_X(\frac{x-a}{b-a};n)\text{ for }a\le x\le b$

Таким чином, щільність розподілу

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^n(-1{)}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){(\frac{x-a}{b-a}-k/n)}^{n-1}\mathrm{sgn}(\frac{x-a}{b-a}-k/n)& \text{if }x\in [a,b]\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$

Надбудови розподілу Бейтс

Замість ділити на n можна також використовувати Шаблон:Radical щоб створити аналогічний розподіл зі сталою дисперсією (наприклад одиничною). Віднімаючи середнє можна створити розподіл з нульовим середнім. Таким чином, параметр n став суто параметром регулювання форми, і отримуємо розподіл, яке охоплює рівномірний, трикутний і, асимптотично, також нормальний розподіл.

Дозволяючи неціле значення n отримаємо досить гнучкий розподіл (наприклад, В(0,1) + 0.5U(0,1) дає трапезоїдний розподіл). Насправді t-розподіл Стюдента є природним продовженням нормального розподілу для моделювання даних з грубими хвостами. І такий узагальнений розподіл Бейтса аналогічно для даних з худими хвостами (ексцес < 3).

Див. також

• Розподіл Ірвіна–Галла
• Нормальний розподіл
• Центральна гранична теорема
• Рівномірний розподіл (безперервне)
• Трикутний розподіл

Джерела

• Bates,G.E. (1955) "Joint distributions of time intervals for the occurrence of successive accidents in a generalized Polya urn scheme", Annals of Mathematical Statistics, 26, 705–720