Підстановка тангенса півкута

Підстановка Веєрштраса, тут ілюстрована як стереографічна проєкція кола.

Підстановка тангенса півкута або універсальна тригонометрична підстановка (Шаблон:Lang-en) — підстановка використовна для віднайдення первісної та визначеного інтеграла раціональних функцій від тригонометричних функцій.

Підстановка

Зв'язок зі стереографічною проєкцією

Почавши з задачі знаходження первісної раціональної функції від синуса і косинуса і замінивши $\sin x$, $\cos x$ і диференціал $\mathrm{d}t$ відповідно раціональними функціями від змінної $t$ та добутком функції від $t$ з диференціалом $\mathrm{d}t$, отже,

$\begin{array}{cc}\sin x& =\frac{2t}{1+t^2}\\ [8pt]\cos x& =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ [8pt]\mathrm{d}x& =\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}.\end{array}$

Отримання

Нехай

$t=\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{x}{2}.$

Використовуючи тригонометричні тотожності,

$\begin{array}{cc}\sin x& =2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\\ [8pt]& =2t{\cos }^2\frac{x}{2}\\ [8pt]& =\frac{2t}{{\sec }^2\frac{x}{2}}\\ [8pt]& =\frac{2t}{1+t^2}.\end{array}$

$\begin{array}{cc}\cos x& =1-2{\sin }^2\frac{x}{2}\\ [8pt]& =1-2t^2{\cos }^2\frac{x}{2}\\ [8pt]& =1-\frac{2t^2}{{\sec }^2\frac{x}{2}}\\ [8pt]& =1-\frac{2t^2}{1+t^2}\\ [8pt]& =\frac{1-t^2}{1+t^2}.\end{array}$

Диференціал $\mathrm{d}x$ можна обчислити так:

$\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}& =\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{x}{2}\\ [8pt]& =\frac{1+t^2}{2}\\ [8pt]\Rightarrow \mathrm{d}x& =\frac{2\mathrm{d}t}{1+t^2}.\end{array}$

Приклади

Формула тангенса півкута пов'язує кут з нахилом лінії

Перший приклад

$\begin{array}{ccc}\int \mathrm{cosec}x\mathrm{d}x& =\int \frac{\mathrm{d}x}{\sin x}& \\ & =\int \frac{\mathrm{d}t}{t}& t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}\\ & =\ln t+C\\ & =\ln \mathrm{tg}\frac{x}{2}+C.\end{array}$

Другий приклад: визначений інтеграл

$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}& =\underset{x=0}{\overset{x=\pi }{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}+\underset{x=\pi }{\overset{x=2\pi }{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}& & \\ & =\underset{t=0}{\overset{t=\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}+\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{t=0}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}& t& =\mathrm{tg}\frac{x}{2}\\ & =\underset{t=-\mathrm{\infty }}{\overset{t=\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{2+\cos x}& & \\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2\mathrm{d}t}{3+t^2}& & \\ & =\frac{2}{\sqrt{3}}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}u}{1+u^2}& t& =u\sqrt{3}\\ & =\frac{2\pi }{\sqrt{3}}.& & \end{array}$

У першому рядку проводять не просто підстановку $t=0$ для обох границь інтегрування. Тут необхідно взяти до уваги особливу точку (у цьому випадку, вертикальну асимптоту) $t=\mathrm{tg}\frac{x}{2}$ в $x=\pi$.

Геометрія

Підстановка тангенса півкута параметризує одиничне коло з центром у $(0,0)$. Замість $+\mathrm{\infty }$ і $-\mathrm{\infty }$, ми маємо лише $\mathrm{\infty }$, на обох кінцях дійсної лінії. Це часто допустимо коли працюєш з дійсними та з тригонометричними функціями (це одноточкова компактифікація лінії.

Тоді як x змінюється, точка, $(\cos x,\sin x)$ раз за разом проходить одиничне коло з центром у $(0,0)$. Точка

$(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2})$

тільки один раз проходить коло у міру того як $t$ рухається від $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$, і ніколи не досягає точки $(-1,0)$, до якої наближається як до границі коли $t$ наближається до $\pm \mathrm{\infty }$. Коли $t$ рухається між $-\mathrm{\infty }$ і $-1$, точка визначена від $t$ покриває частину кола в третьому квадранті, від $(-1,0)$ до $(0,-1)$.

Ось інша геометрична точка зору. Намалюємо одиничне коло, і нехай P буде точкою $(-1,0)$. Лінія через $P$ (окрім вертикальної лінії) визначена її нахилом. Далі більше, кожна така лінія (окрім вертикальної) перетинає коло саме у двох точках, одна з яких $P$. Це визначає функцію від точки на колі в нахил. Тригонометричні функції визначають функцію від кута в точку на одиничному колі, тепер, сполучаючи ці дві функції, ми маємо функцію від кута в нахил.