Підалгебра Картана

В математиці, зокрема теорії алгебр Лі, підалгебрами Картана називаються певні нільпотентні підалгебри, які зокрема мають велике значення для класифікації напівпростих алгебр Лі і в теорії симетричних просторів. Названі на честь французького математика Елі Картана.

Означення

Нехай $𝔤$ — алгебра Лі. Підалгебра $𝔞\subset 𝔤$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є нільпотентною і рівна своєму нормалізатору. Формально ці умови можна записати як:

• $\underset{n}{\underbrace{[𝔞,[𝔞,[\cdots ,[𝔞,𝔞}}]\cdots ]]]=0$ для деякого $n\in \mathbb{N}$ (нільпотентність)
• $\mathrm{\forall }Y\in ̸𝔞\mathrm{\exists }X\in 𝔞:[X,Y]\in ̸𝔞$(самонормалізованість).

Еквівалентним є таке означення: нільпотентна підалгебра $𝔞\subset 𝔤$ називається підалгеброю Картана, якщо вона є рівна своїй нуль-компоненті Фіттінга, тобто множині:

${𝔤}_0:=\{X\in 𝔤:\mathrm{\forall }H\in 𝔞\mathrm{\exists }{n}_{H,X}\in \mathbb{Z},(\mathrm{ad}H{)}^{n_{H,X}}(X)=0\},$

де $\mathrm{ad}$ — приєднане представлення групи Лі.

Властивості

• Підалгебри Картана є максимальними нільпотентними підалгебрами, тобто не містяться у строго більших нільпотентних підалгебрах.
• Довільна скінченновимірна алгебра Лі над нескінченним полем має підалгебру Картана.
• Для скінченновимірної алгебри Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0 усі підалгебри Картана є спряженими щодо автоморфізмів алгебри Лі і зокрема є ізоморфними. Розмірність алгебр Картана називається рангом алгебри Лі. У випадку, якщо алгебра Лі є розв'язною, то ці властивості є справедливі і для полів, що не є алгебраїчно замкнутими.
• В тих же припущеннях, що і вище, довільна максимальна нільпотентна підгрупа, розмірність якої рівна рангу алгебри Лі, є підгрупою Картана.
• Образ підалгебри Картана при сюр'єктивному гомоморфізмі алгебр Лі є підалгеброю Картана.
• Нехай для скінченновимірної алгебри Лі над нескінченним полем $X\in 𝔤$ є регулярним елементом, тобто елементом, для якого нульова компонента Фіттінга ендоморфізму $\mathrm{ad}X$ має мінімальну розмірність. Тоді підалгебра $𝔫(X,𝔤)$, елементами якої є $Y\in 𝔤$, такі, що ${\mathrm{ad}}^{n}X(Y)=0$ для деякого $n\in \mathbb{Z}$, є підалгеброю Картана. Для полів характеристики 0 всі підалгебри Картана мають вид як для відповідного регулярного елемента $X\in 𝔤.$ Кожен регулярний елемент належить одній і тільки одній підгрупі Картана.
• Якщо $k\subset K$ є деяким розширенням поля, то підалгебра $𝔞\subset 𝔤$ є підалгеброю Картана тоді і тільки тоді, коли $𝔞{\otimes }_{k}K$ є підалгеброю Картана алгебри $𝔤{\otimes }_{k}K.$

Приклади

• Будь-яка нільпотентна алгебра Лі рівна своїй підалгебрі Картана.
• Підалгеброю Картана загальної лінійної групи над деяким полем є алгебра діагональних матриць.
• Підалгеброю Картана алгебри Лі

$𝔤=𝔰𝔩(n,ℂ)=\{A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n,ℂ):\mathrm{T}\mathrm{r}(A)=0\}$

є підалгебра діагональних матриць

${𝔞}_0=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n=0\}$.

Будь-яка інша підалгебра Картана $𝔞\subset 𝔰𝔩(n,ℂ)$ є спряженою до ${𝔞}_0$.

• Натомість, наприклад, у алгебрі $𝔰𝔩(2,ℝ)$ є неспряжені підалгебри Картана, зокрема

${𝔞}_1=ℝ\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

і

${𝔞}_2=ℝ\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

• Розмірність алгебри Картана загалом не є максимальною розмірністю абелевої підалгебри, навіть для простих алгебр над полем комплексних чисел. Наприклад, алгебра Лі $𝔰𝔩(2n,ℝ)$ має підалгебру Картана розмірності 2n−1, але розмірність її абелевої підалгебри, що складається з усіх матриць виду $(\genfrac{}{}{0ex}{}{0A}{00})$, де A — довільна матриця розмірності n×n, є рівною n². Ця підалгебра не є підалгеброю Картана, оскільки строго міститься у нільпотентній підалгебрі верхніх трикутних матриць з нульовими діагональними елементами.
• Прикладом максимальної нільпотентної підалгебри, що не є підалгеброю Картана, може бути алгебра $𝔥$ матриць виду $\{a{I}_n+N\},$ де $a\in ℝ,$$I_n$ — одинична матриця порядку n, а матриці $N\in 𝔫$ є верхніми трикутними з нульовими діагональними елементами. Дані матриці утворюють абелеву підалгебру загальної лінійної групи і можна довести, що ця алгебра є максимальною нільпотентною підалгеброю. Проте, якщо Y є діагональною матрицею, не всі елементи якої є рівними, то $[Y,X]\in 𝔫\subset 𝔥,\mathrm{\forall }X\in 𝔥,$ хоча $Y\in ̸𝔥$, і друга вимога в означенні підалгебри Картана не виконується.

Напівпрості алгебри Лі

Якщо $𝔤$ є напівпростою алгеброю Лі над алгебраїчно замкнутим полем характеристики 0, тоді підалгебра Картана $𝔞\subset 𝔤$ є абелевою і образи приєднаного представлення $\mathrm{a}\mathrm{d}:𝔤\to 𝔤𝔩(𝔤)$, обмеженого на $𝔞$, є одночасно діагоналізовними у множині вагових векторів, до того ж $𝔞$ є власним простором, що відповідає вазі $0$. Також справедливим є розклад в пряму суму

$𝔤=𝔞\oplus \underset{\alpha \in {𝔞}^{*}}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$

де

$[X,Y]=\alpha (X)Y\mathrm{\forall }X\in 𝔞,Y\in {𝔤}_{\alpha }$

і

${𝔤}_{\alpha }=0⟹\alpha (X)=0\mathrm{\forall }X\in 𝔞$.

Зокрема у випадку

$𝔤=𝔰𝔩(n,ℂ)=\{A\in \mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n,ℂ):\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{u}\mathrm{r}(A)=0\},$

$𝔞=\{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{a}\mathrm{g}({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n):{\lambda }_1+\dots +{\lambda }_n=0\}$

якщо позначити $e_{ij}$ матрицю з елементом $1$ в позиції $(i,j)$ і іншими елементами, рівними $0$, тоді розклад має вид

$𝔤=𝔞\oplus \underset{i=j}{⨁}ℂe_{ij}=𝔞\oplus \underset{\alpha \in {𝔞}^{*}}{⨁}{𝔤}_{\alpha }$

де $ℂe_{ij}={𝔤}_{\alpha }$ для ваги

$\alpha ({\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n)={\lambda }_i-{\lambda }_j$.

Література

• Élie Cartan: Sur la structure des groupes de transformations finis et continus. Thèse, Paris 1894.
• Anthony W. Knapp: Lie groups beyond an introduction. (Progress in Mathematics, 140). Second edition. Birkhäuser, Boston, MA 2002, ISBN 0-8176-4259-5.