Псевдоколо

Псевдоко́ло — скінченний топологічний простір, невідмінний від кола з погляду алгебричної топології.

Побудова

Псевдоколо складається з чотирьох точок $\{a,b,c,d\}$ і наділене топологією з такими відкритими множинами:

$\{\{a,b,c,d\},\{a,b,c\},\{a,b,d\},\{a,b\},\{a\},\{b\},\varnothing \}$ .

Зауваження

• Цю топологію можна визначити через частковий порядок $a<c,b<c,a<d,b<d$, де відкрити набори замкнутих множин.

Властивості

• З точки зору загальної топології, псевдоколо — патологічний простір, оскільки він не задовольняє жодній з аксіом відокремлюваності, крім $T_0$.
• Неперервне відображення $f$ із кола ${𝕊}^1=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=1\}$ у псевдоколо, що визначається як

  $f(x,y)=\{\begin{array}{c}ax<0\\ bx>0\\ c(x,y)=(0,1)\\ d(x,y)=(0,-1)\end{array}$,

є слабкою гомотопічною еквівалентністю. Зокрема, $f$ індукує ізоморфізми всіх гомотопічних груп, а також ізоморфізм на сингулярних гомологіях і когомологіях і взагалі ізоморфізм для всіх теорій гомологій та когомологій.

Варіації та узагальнення

• Павло Сергійович Александров показав, що з будь-якого скінченного симпліційного комплексу $K$ існує скінченний топологічний простір $X_K$, який має той самий слабкий гомотопічний тип, що й геометрична реалізація $|K|$.