Аксіоми відокремлюваності

Визначення топологічного простору задовільняє дуже широкий клас множин. Зокрема, множини, топологія яких мало подібна на топологію метричного простору. Тому, на топологічні простори часто накладають додаткові умови, зокрема, аксіоми відокремлюваності.

Відомі аксіоми відокремлюваності крім імені мають також символьне позначення: T₀, T₁, T₂, T₃, T_3½, T₄ і т. д. Буква T в цих позначеннях походить від Шаблон:Lang-de, що означає аксіома відокремлюваності.

T₀ — аксіома Колмогорова

Діаграма Наса для аксіом відокремлюваності.

Для двох довільних різних точок $x$ та $y$ хоча б одна повинна мати окіл, що не містить другу точку.

T₁ — аксіома Тихонова

Шаблон:Main Для двох довільних різних точок $x$ та $y$ повинен існувати окіл точки $x$, що не містить точку $y$ та окіл точки $y$, що не містить точку $x$.

T₂ — аксіома Гаусдорфа

Для двох довільних різних точок $x$ та $y$ повинні існувати околи $U(x)$ та $V(y)$, що не перетинаються.

T_2½

Шаблон:Main Для двох довільних різних точок $x$ та $y$ повинні існувати замкнуті околи $U(x)$ та $V(y)$, що не перетинаються.

CT₂

Шаблон:Main Для двох довільних різних точок $x$ та $y$ існує неперервна функція, рівна нулю на $x$ і одиниці на $y$.

T₃

Шаблон:Main Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існують їх околи, що не перетинаються.

T_3½

Шаблон:Main Для довільної замкнутої множини і точки що не належить множині існує неперервна функція, рівна нулю на множині і одиниці у точці.

Простори, що задовільняють аксіому T_3½ називаються повністю регулярними просторами чи тихонівськими просторами.

T₄

Для двох довільних замкнутих множин, що не перетинаються існують їх околи що не перетинаються.

Література

• О. Я. Виро, О. А. Иванов, В. М. Харламов и Н. Ю. Нецветаев Задачный учебник по топологии Шаблон:Webarchive
• Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 752 с.

Дивись також

• Сепарабельний простір
• Принцип віддільності