Полюс і поляра

Поляра q до точки Q відносно кола радіуса r з центром у точці O. Точка P є точкою інверсії до Q; поляра — це пряма, яка проходить через P і перпендикулярна до прямої, яка проходить через O, P і Q.

У геометрії, полюс і поляра є відповідно точка та пряма, які перебувають в унікальному відношенні відносно певного конічного перетину.

Для певного кола, взаємність у колі означає перетворення кожної точки на площині у її поляру та кожної прямої на площині у її полюс.

Характеристики

Полюси та поляри мають декілька корисних характеристик:

• Якщо точка P лежить на прямій l, тоді полюс L прямої l лежить на полярі p точки P.
• Якщо точка P рухається вздовж прямої l, її поляра p обертається навколо полюса L прямої l.
• Якщо з полюса до конічного перетину можна провести дві дотичні прямі, тоді його поляра проходить через обидві точки дотику.
• Якщо точка лежить на конічному перетині, її поляра є дотичною в цій точці до конічного перетину.
• Якщо точка P лежить на власній полярі, то P розташована на конічному перетині.
• Кожна лінія має, відносно невиродженого конічного перетину, лише один полюс.

Окремі випадки кіл

Полюсом прямої L у колі C є точка P, яка є інверсією у колі C точки Q на L, яка найближча до центру кола. І навпаки, полярна лінія (або поляра) точки P відносно кола C є лінією L, такою, що її найближча до центра кола точка Q є інверсією точки P у C.

Якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q лежить на полярі a точки A. Більш загально, поляри всіх точок на лінії q повинні проходити через її полюс Q.

Відношення між полярами і полюсами є взаємними. Тобто, якщо точка A лежить на полярі q іншої точки Q, тоді Q повинна лежати на полярі a точки A. Дві полярні лінії a і q не обов'язково є паралельними.

Є інший опис полярної лінії точки P у випадку, коли вона лежить за межами кола C. У цьому випадку, через P проходять дві прямі, які є дотичними до кола, і поляра точки P є лінією, що проходить через дві точки дотику. Це показує, що поляра та полюс є концепціями площини у проєктивній геометрії і узагальнюються на будь-який несингулярний конічний перетин замість кола C.

Взаємність і проєктивна дуальність

Ілюстрація дуальності між точками та лініями, та подвійного значення «інцидентність». Якщо дві лінії a і k проходять через одну точку Q, тоді поляра q точки Q з'єднує полюси A і K ліній a і k, відповідно.

Концепції полюса та його полярної лінії отримали розвиток у проєктивній геометрії. Наприклад, полярна лінія може розглядатись як набір проєктивних гармонійних сполучених точок для заданої точки (полюса) відносно конічного перетину. Операція заміни кожної точки її полярною лінією і навпаки відома як полярність.

Полярність — це кореляція, яка також є інволюцією.

Загальні конічні перетини

Лінія p є полярою для точки P, l до L і m до M

p є полярною лінією до точки P ; m є полярною лінією до M

Концепції полюса, поляри і взаємність можна узагальнити з кіл на інші конічні перетини: еліпс, гіперболу й параболу. Це узагальнення можливе, оскільки конічні перетини є результатом взаємності кола в іншому колі, а пов'язані характеристики, такі як інцидентність та подвійне відношення, зберігаються за всіх проєктивних перетворень.

Розрахунок поляри до точки

Конічний перетин можна задати як рівняння другого ступеня у декартовій системі координат (x, y) площини

$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$

де A_xx, A_xy, A_yy, B_x, B_y і C є сталими, які визначають рівняння. Для такого конічного перетину, полярна лінія до заданої точки (полюса) (ξ, η) визначається рівнянням

$Dx+Ey+F=0$

де D, E і F така само є сталими, які залежать від координат полюса (ξ, η)

$\begin{array}{cc}D& =A_{xx}\xi +A_{xy}\eta +B_x\\ E& =A_{xy}\xi +A_{yy}\eta +B_y\\ F& =B_x\xi +B_y\eta +C\end{array}$

Розрахунок полюса прямої

Полюс прямої $Dx+Ey+F=0$, відносно невиродженого конічного перетину

$A_{xx}{x}^2+2A_{xy}xy+A_{yy}{y}^2+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0$

можна розрахувати за два кроки.

Спочатку розраховуються числа x, y і z з

$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]={\left[\begin{array}{ccc}{A}_{xx}& A_{xy}& B_x\\ A_{xy}& A_{yy}& B_y\\ B_x& B_y& C\end{array}\right]}^{-1}\cdot \left[\begin{array}{c}D\\ E\\ F\end{array}\right]$

Тоді полюс — це точка з координатами $(\frac{x}{z},\frac{y}{z})$

Застосування

Полюси та поляри визначив Шаблон:Iw та використав для розв'язання задачі Аполлонія.

У площинній динаміці полюс є центром обертання, поляра — лінією дії сили, а конічний перетин є матрицею маса-інерція. Це відношення полюс-поляра використовується для визначення Шаблон:Iw плоского твердого тіла. Якщо полюс є центром обертання, тоді поляра є лінією удару як описано в площинному гвинтовому численні.

Див. також

• Шаблон:Iw
• Дуальний многогранник
• Шаблон:Iw
• Проєктивна геометрія
• Гармонійна четвірка

Джерела

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book The paperback version published by Dover Publications has the Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book

Посилання

• Інтерактивна анімація з численними полярами і полюсами на Cut-the-Knot
• Інтерактивна анімація з одним полюсом та його полярою
• Interactive 3D with coloured multiple poles/polars — open source
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Tutorial at Math-abundance