Подвійне відношення

Подві́йне відно́шення (або складне́ відно́шення або застаріле ангармонічне відношення) четвірки чисел $a$, $b$, $c$, $d$ (дійсних чи комплексних) визначається як

$(ab,cd)=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b}.$

Властивості

• Подвійне відношення зберігається при дробово-лінійних перетвореннях, зокрема не залежить від вибору координат на прямій.
• $(ab,cd)=\frac{1}{(ba,cd)}=\frac{1}{(ab,dc)}=1-(ac,bd)$
• $(ab,cd)(ab,de)=(ab,ce)$

Варіації та узагальнення

Подвійним (або складним) відношенням четвірки точок $A$, $B$, $C$, $D$, що лежать на одній (дійсній або комплексній) прямій, називають число

$(AB,CD)=\frac{c-a}{c-b}:\frac{d-a}{d-b},$

де через $a$, $b$, $c$, $d$ позначені координати точок $A$, $B$, $C$, $D$ відповідно. Подвійне відношення не залежить від вибору координати на прямій. Часто пишуть також так:

$(AB,CD)=\frac{AC}{BC}:\frac{AD}{BD},$

припускаючи, що через $AC/BC$ (відповідно $AD/BD$) позначено відношення направлених відрізків.

• Подвійне відношення четвірки точок на прямій зберігається при проєктивних перетвореннях площини або простору.

Подвійним відношенням четвірки прямих $a$, $b$, $c$, $d$, що проходять через одну точку, називають число

$(ab,cd)=\pm \frac{\sin (a,c)}{\sin (b,c)}:\frac{\sin (a,d)}{\sin (b,d)},$

знак якого вибирається таким чином: якщо один з кутів, утворених прямими $a$ та $b$, не перетинається з жодною з прямих $c$ або $d$ (у цьому випадку кажуть, що пара прямих $a$ та $b$ не розділяє пару прямих $c$ та $d$), то $(ab,cd)>0$; в протилежному випадку $(ab,cd)<0$.

• Нехай четвірка прямих $a$, $b$, $c$, $d$ проходить через точку $O$, а пряма $\ell$ не містить $O$.

Вважатимемо, що прямі $a$, $b$, $c$, $d$ перетинаються з $\ell$ відповідно в точках $A$, $B$, $C$ та $D$. Тоді

• $(ab,cd)=(AB,CD).$

Див. також

• Гармонічна четвірка
• Просте відношення
• Шаблон:Нп

Посилання

• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика?Шаблон:Ref-ru
• Шаблон:ВТ-ЕСБЕ
• Шаль, Мишель. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов/Примечание IX/ДО|Об ангармонической функции четырех точек или четырех прямых // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. Прим. IX. М., 1883.Шаблон:Ref-ru