Гвинтове числення

Гвинтове числення — розділ векторного числення, в якому вивчаються операції над гвинтами.

Означення

Геометричний образ - еквівалент системи векторів, представлюваний для будь-якої точки простору головним вектором й головним моментом системи відносно цієї точки, називається мотором (сполучення слів "момент" й "вектор").

Якщо система ковзних векторів приведена до точки, яка лежить на центральній осі, то головний момент є колінеарним головному векторові. Мотор $(\mathrm{r},{\mathrm{r}}_0)$, у якого момент ${\mathrm{r}}_0$ є колінеарним вектору, називається гвинтом.

Гвинт — впорядкована пара колінеарних векторів $(\mathrm{r},{\mathrm{r}}_0)$, прикладених в певній точці. Вектор $\mathrm{r}$ називається вектором гвинта, пряма, що визначається цим [ковзним] вектором ($\mathrm{r}$ лежить на прямій) — віссю гвинта, а вектор ${\mathrm{r}}_0$ — моментом гвинта. З колінеарності даних векторів випливає, що ${\mathrm{r}}_0=p\mathrm{r}$. Число $p$ називається параметром гвинта і є скалярним множником. Величина цього множника є додатною, якщо $\mathrm{r}$ та ${\mathrm{r}}_0$ спрямовані у одну й ту саму сторону, та від'ємною, якщо вони спрямовані у різні сторони.

Кліфорд увів операцію, за допомогою якої мотор $(\mathrm{r},{\mathrm{r}}_0)$ виражається формально у вигляді комплексного вектора

$\mathrm{r}+\omega {\mathrm{r}}_0,$

де $\omega$ - множник, квадрат якого дорівнює нулю. Якщо оперувати із такого роду комплексним вектором як із формальною сумою, то $\omega$ буде відігравати роль числа, яке має властивість ${\omega }^2=0.$

Означення через алгебру дуальних чисел

Гвинт можна уявити як дуальний вектор виду $\mathrm{r}+\epsilon {\mathrm{r}}_0$, що дозволяє ввести над гвинтами операції, аналогічні операціям над векторами.

• $\mathrm{r}+\epsilon {\mathrm{r}}_0=\mathrm{r}(1+\epsilon p)$

• Число $|\mathrm{r}|e^{\epsilon p}$ називається модулем гвинта.

Література

• Ball R., A Treatise on the Theory of the Screws. Dublin. 1876;
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Department of Design and Innovation, the Open University, London.
• Ravi Banavar notes on Robotics, Geometry and Control Шаблон:Webarchive