П'ятикутний трапецоедр

П'ятикутний трапецоедр
Тип	Двоїстий до однорідного Трапецоедри
Властивості	Напівправильний опуклий, рівногранний, ізоедр
Комбінаторика
Елементи	10 граней; 20 ребер(10 коротких+10 довгих); 12 вершин (10 {3-го степеня}+2{5-го}).
Грані	10 рівних дельтоїдів
Характеристика Ейлера	$\chi =\mathrm{\Gamma }-\text{P}+\text{B}=2$
Конфігурація грані	V 5.3.3.3 (послідовне число граней біля кожної вершини навколо грані)
Класифікація
Позначення	• dA5 (в Шаблон:Не перекладено)
Діаграма Коксетера-Динкіна	Шаблон:ДКД або (p2p10o) Шаблон:ДКД або (p2p5p)
Група симетрії	Шаблон:Не перекладено, [2+,10], (2*5), порядок 20 (Діедрична симетрія 5-Антипризми)
Група поворотів	D5, [5,2]+, (522), порядок 10
Двоїстий багатогранник	П'ятикутна антипризма
Розгортка

П'ятикутний трапецоедр (п'ятикутний дельтоедр, п'ятикутний антитегум) — опуклий напівправильний рівногранний багатогранник, двоїстий до однорідної п'ятикутної антипризми.

Цей багатогранник є напівправильним багатогранником, а отже, володіє такими властивостями:

1. Всі грані є рівними багатокутниками (дельтоїди);
2. Для будь-якої пари граней A і B існує симетрія всього тіла (тобто рух, що складається з поворотів та віддзеркалень), яка переводить A в B.

Він має 10 граней (тобто це Шаблон:Не перекладено), які є конгруентними дельтоїдами з трьома рівними кутами; всі двогранні кути рівні між собою.

Має 12 вершин: в 10 вершинах сходяться своїми більшими кутами по 3 грані (10 вершин 3-го степеня), у 2 вершинах сходяться своїми меншими кутами по 5 граней (2 вершини 5-го степеня).

Вершини п'ятикутного трапецоедра розташовані в чотирьох паралельних площинах.

П'ятикутний трапецоедр є третім у нескінченному ряду рівногранних багатогранників, що є двоїстими до однорідних антипризм.

Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та антипризму

Розбиття 5-трапецоедра на піраміди та додекаедр

Його можна розкласти на дві прямі п'ятикутні піраміди і неоднорідну п'ятикутну антипризму між ними. Його також можна розкласти на дві п'ятикутні піраміди та додекаедр між ними.

Тобто 5-трапецоедр можна отримати з правильного додекаедра шляхом нарощення на двох його протилежних гранях п'ятикутних пірамід.

Сферичний 5-трапецоедр

5-трапецоедр також існує у вигляді сферичного багатогранника з 2 вершинами на полюсах і вершинами, що чергуються, які рівномірно розташовані над і під екватором.

Формули

У всіх формулах нижче: $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1.618033988749$ — відношення пропорції «золотого перетину». (Шаблон:OEIS).

Грань 5-трапецоедра

Грань трапецоедра — дельтоїд.

Відношення між коротким

$l$

та довгим

$L$

ребрами 5-трапецоедра:

$$\frac{L}{l}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}=\phi +1\approx 2.618033988749$$

Гострий кут дельтоїда:

$\alpha =2\pi -3\beta =\frac{\pi }{5}rad=36^{\circ }$;

Тупий кут: $\beta =\arccos (\frac{1}{2}-\cos \left(\frac{\pi }{5}\right))=\frac{3\pi }{5}rad=108^{\circ }$

Площа грані: $S=\sqrt{\frac{25+11\sqrt{15}}{8}}\cdot l^2=\frac{\phi +1}{2}\cdot \sqrt{\phi +2}\cdot l^2\approx 2.48989828488278\cdot l^2$

Діагоналі

Кількість діагоналей опуклого багатогранника: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{B}{2})-P$,

де В — кількість вершин, Р — кількість ребер багатогранника.

Для п'ятикутного трапецоедра: $(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{2})-20=\frac{12}{2}\cdot \frac{11}{1}-20=46$ діагоналей (20 граневих та 26 просторових).

Діагоналі 5-трапецоедра з довжиною короткого ребра $l$
	Граневі діагоналі	$CE=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot l=\phi \cdot l\approx 1.61803398874989\cdot l$ $AD=\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot l=\phi \cdot \sqrt{2+\phi }\approx 3.07768353717\cdot l$
	Просторові діагоналі	$CF=\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot l=\sqrt{2}\cdot \phi \cdot l\approx 2.28824561127073\cdot l$ $GF=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\cdot l={\phi }^2\cdot l\approx 2.61803398874989\cdot l$ $CK=2R_3=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{2}\cdot l=\sqrt{3}\cdot \phi \cdot l\approx 2.8025170768881\cdot l$ $AB=2R_5=\sqrt{\frac{25+11\sqrt{15}}{2}}\cdot l=(\phi +1)\cdot \sqrt{\phi +2}\cdot l\approx 4.97979656976556\cdot l$

Метричні характеристики

Якщо коротке ребро 5-трапецоедра дорівнює $l$, то:
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	$r=\frac{\sin \left(\frac{\pi }{5}\right)\cdot \sqrt{({\sec }^2\left(\frac{\pi }{10}\right)-4)(2\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)-3)}}{4(4-5\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right))}\cdot l$	$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{25+11\sqrt{15}}{10}}\cdot l$	$=\frac{2\phi +1}{2\sqrt{\phi +2}}\cdot l$	$\approx 1.1135163\cdot l$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	$\rho =\frac{1}{4}\csc \left(\frac{\pi }{10}\right)\cdot \sqrt{2\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)+1}\cdot l$	$\rho =\frac{3+\sqrt{5}}{4}\cdot l$	$=\frac{\phi +1}{2}\cdot l$	$\approx 1.30901699\cdot l$
Описаної сфери 5-трапецоедр не має
Радіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня та, відповідно, 5-го степеня)	= радіусу описаної сфери вписаного додекаедра	$R_3=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{4}\cdot l$	$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \phi \cdot l$	$\approx 1.40125853\cdot l$
	$R_5=\frac{1}{8}{\csc }^3\left(\frac{\pi }{10}\right)\cdot \sin \left(\frac{\pi }{5}\right)\cdot l$	$R_5=\sqrt{\frac{25+11\sqrt{15}}{8}}\cdot l$	$=\frac{\phi +1}{2}\cdot \sqrt{\phi +2}\cdot l$	$\approx 2.48989828\cdot l$
Площа поверхні	$S=\frac{5}{4}{\csc }^2\left(\frac{\pi }{10}\right)\sqrt{1+4\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)-2\cos \left(\frac{2\pi }{5}\right)}\cdot l^2$	$S=5\sqrt{\frac{25+11\sqrt{15}}{2}}\cdot l^2$	$=5(\phi +1)\cdot \sqrt{\phi +2}\cdot l^2$	$\approx 24.898982\cdot l^2$
Об'єм	$V=\frac{5\cot \left(\frac{\pi }{10}\right)\cdot {\csc }^2\left(\frac{\pi }{10}\right)\cdot (2\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)+1)}{24\cdot \sqrt{2+2\cos \left(\frac{\pi }{5}\right)}}\cdot l^3$	$V=\frac{5\cdot (11+5\sqrt{5})}{12}\cdot l^3$	$=\frac{5}{6}(3\phi +2)\cdot \sqrt{\phi +1}\cdot l^3$	$\approx 9.2418082\cdot l^3$

Якщо ребро канонічно двоїстої 5-антипризми дорівнює $a$, то для 5-трапецоедра справедливі формули:
Довжини ребер	$l=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot a=(\phi -1)\cdot a$ $L=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\cdot a=\phi \cdot a$	$\approx 0.6180339\cdot a$ $\approx 1.6180339\cdot a$
Граневі діагоналі	$d=a$ $D=\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\cdot a$	$\approx 1.902113\cdot a$
Площа грані	$S=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\cdot a^2$	$\approx 0.95105651\cdot a^2$
Радіус вписаної сфери (дотикається до всіх граней)	$r=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}}\cdot a$	$\approx 0.68819096\cdot a$
Радіус напіввписаної сфери (дотикається до всіх ребер)	$\rho =\frac{1+\sqrt{5}}{4}\cdot a=\frac{\phi }{2}\cdot a$	$\approx 0.80901699\cdot a$
Радіус сфери R3 та R5(відстань від центра до вершин 3-го степеня та відповідно, 5-го степеня)	$R_3=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot a$	$\approx 0.8660254\cdot a$
	$R_5=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}\cdot a$	$\approx 1.5388417\cdot a$
Площа поверхні	$S=5\cdot \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}\cdot a^2$	$\approx 9.5105651\cdot a^2$
Об'єм	$V=\frac{5\cdot (3+\sqrt{5})}{12}\cdot a^3$	$\approx 2.18169499\cdot a^3$

Кути

Кути багатогранника
Двогранний кут між гранями	$\alpha =\arccos (-\frac{\sqrt{5}}{5})=2\cdot \arctan \left(\phi \right)$	≈ 2.034443935795 rad ≈ 116° 33′ 54.18423748′′
Тілесний кут при вершині 5-го степеня	${\mathrm{\Omega }}_5=2\pi -10\cdot \arcsin \left(\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}}{2}\right)$$=2\pi -10\cdot \mathrm{arccsc}\left(\sqrt{3+\sqrt{5}}\right)$	${\mathrm{\Omega }}_5\approx 1.760400835667$ ср
Тілесний кут при вершині 3-го степеня	${\mathrm{\Omega }}_3=\arccos (-\frac{11\sqrt{5}}{25})=\pi -\arctan \left(\frac{2}{11}\right)$	${\mathrm{\Omega }}_3\approx 2.961739153797$ ср

Граф п'ятикутного трапецоедра

В теорії графів граф п'ятикутного трапецоедра — це граф з 12 вершинами та 20 ребрами, що має кістяк 5-трапецоедра.

10 вершин мають степінь 3, 2 вершини мають степінь 5.

Деякі властивості: двочастковий, планарний, багатогранний, досконалий, без трикутників, однозначно розфарбовуваний, простежуваний

Граф є Гамільтоновим і має $(5+1)(5+2)=42$  гамільтонових циклів та $2\cdot 5\cdot (3\cdot 5^2-7\cdot 5+6)=460$ гамільтонових шляхів.

Споріднені багатогранники

П'ятикутний трапецоедр належить до нескінченного ряду рівногранних багатогранників, двоїстих однорідним антипризмам. Шаблон:Трапецоедри

Джерела

• Шаблон:Книга

Посилання

• Generalized formula of uniform polyhedron (trapezohedron) having 2n congruent right kite faces from Academia.edu
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:Dmccooey