Основний стан квантовомеханічної системи

Основним станом квантовомеханічної системи називається стаціонарний стан із найменшою енергією.

У квантовій механіці спектр гамільтоніана, тобто спектр можливих значень енергії, завжди обмежений знизу, тож серед його власних значень завжди знаходиться найменше.

Властивості

Стан із найменшим значенням енергії невироджений.

В одновимірному випадку хвильова функція основного стану не має нулів.

Середнє значення енергії, вирахуване на будь-якій іншій хвильовій функції завжди більше за енергію основного стану.

Інше

Основний стан заведено позначати кет-вектором $|0⟩$.

Інші стани з більшою енергією називають збудженими станами.

Основний стан квантовомеханічної системи має велике значення тому, що багато систем, наприклад вільні атоми, молекули, внаслідок взаємодії з іншими системами, наприклад із електромагнітними коливаннями (випромінюючи надлишок енергії), приходять до основного стану.

Приклад

Знайдемо основний стан, який буде розв'язком рівняння Шредінгера для квантового гармонічного осцилятора:

$\frac{-\hslash }{2m}\frac{d^2\mathrm{\Psi }(x)}{d{x}^2}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\mathrm{\Psi }(x)=E\mathrm{\Psi }(x)$

Випробуємо хвильову функцію форми:

$\mathrm{\Psi }(x)=C{e}^{-\alpha x^2/2}$

Підстановкою цієї функції в рівняння Шредінгера через другу похідну маємо: $\frac{d\mathrm{\Psi }}{dx}=-C\frac{\alpha }{2}{e}^{-\alpha x^2/2}2x$

$\frac{d^2\mathrm{\Psi }}{d{x}^2}=-C\alpha e^{-\alpha x^2/2}+C{\alpha }^2{x}^2{e}^{-\alpha x^2/2}$

$\frac{-\hslash }{2m}[-\alpha +{\alpha }^2{x}^2]\mathrm{\Psi }+\frac{1}{2}m{\omega }^2{x}^2\mathrm{\Psi }=E\mathrm{\Psi }$

Щоб це було розв'язком для всіх $x$, коефіцієнти мають бути однакові при всіх степенях. Цим ми можемо поєднати крайові умови з диференціальним рівнянням. Вирівнюємо коефіцієнти:

$\frac{-{\hslash }^2{\alpha }^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2=0$

І з вільними членами отримуємо енергію:

$\frac{-\hslash }{2m}\frac{m\omega }{\hslash }=E_0=\frac{\hslash \omega }{2}$

Тобто енергія системи, описаної квантовим гармонійним осцилятором, не може бути нульовою. Фізичні системи на зразок атомів у твердій ґратці або поліатомній молекулі в газі не можуть мати нульової енергії навіть за абсолютного нуля. Енергію основного коливального стану називають також нульовими коливаннями. Цієї енергії вистачає, щоб гелій-4 не замерз при атмосферному тиску незалежно від того, наскільки низька температура.

Джерела

• Шаблон:Cite book