Обернена теорема Фур'є

У математиці обернена теорема Фур'є стверджує, що багато типів функцій можливо відновити, використовуючи їх перетворення Фур'є. Інтуїтивно це твердження можна зрозуміти так: якщо відома частота та фаза коливань хвилі, то можливо відновити початковий стан цієї хвилі.

Теорема стверджує, якщо функція $f:ℝ\to ℂ$ задовольняє певні умови, то з перетворення Фур'є функції $f:ℝ\to ℂ$

$(ℱf)(\xi ):=\underset{ℝ}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y$

випливає, що

$f(x)=\underset{ℝ}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }(ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi .$

Іншими словами, теорема стверджує, що

$f(x)=\underset{{ℝ}^2}{\iint }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(x-y)\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi .$

Останню рівність називають інтегральною теоремою Фур'є.

Інше формулювання теореми полягає у тому, що якщо $R$ — фліп-оператор, тобто $(Rf)(x):=f(-x)$, то

${ℱ}^{-1}=ℱR=Rℱ.$

Теорема виконується для тих функцій $f$ та їх перетворень Фур'є, які є Шаблон:Нп (за Лебегом), і функцій $f$ неперервних у точці $x$. Однак, навіть за більш загальних умов обернена теорема Фур'є має місце. У цих випадках інтеграли, вказані вище, можуть не збігатися у звичайному сенсі.

Твердження

Нехай $f$ — інтегровна неперервна функція. Використовуємо наступне позначення для перетворень Фур'є:

$(ℱf)(\xi ):=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y.$

Більше того, вважаємо, що перетворення Фур'є також є інтегровним.

Обернене перетворення Фур'є як інтергал

Найбільш поширеним формулюванням оберненої теореми Фур'є є твердження про обернене перетворення як інтеграл. Нехай для будь-якої інтегровної функції $g$ та довільного $x\in {ℝ}^n$

${ℱ}^{-1}g(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }g(\xi )\mathrm{d}\xi ,$

тоді для довільного $x\in {ℝ}^n$ маємо, що

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

Інтегральна теорема Фур'є

Теорему можна переформулювати як

$f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}(x-y)\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi .$

Якщо $f$ — дійснозначна функція, то, прирівнявши дійсні частини рівності, отримуємо

$f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }\cos (2\pi (x-y)\cdot \xi )f(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi .$

Обернене перетворення як фліп-оператор

Для довільної функції $g$ визначимо фліп-оператор $R$ такий, що $Rg(x):=g(-x)$. Тоді можна визначити

${ℱ}^{-1}f=Rℱf=ℱRf.$

Ця формула одразу випливає із означення перетворення Фур'є та фліп-оператора $R$. Перетворення $ℱRf$ та $Rℱf$ відповідають перетворенню ${ℱ}^{-1}f$, дорівнюють одне одному та задовольняють рівність

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

Оскільки $Rf=R{ℱ}^{-1}ℱf=RRℱℱf$, то $R={ℱ}^2$ і ${ℱ}^{-1}={ℱ}^3$.

Двостороння оборотність

Вище викладене типове формулювання теореми має вигляд

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

Іншими словами, ${ℱ}^{-1}$ є лівим оберненим оператором для перетворення Фур'є. Водночас він також є правим оберненим оператором для перетворення Фур'є, тобто

$ℱ\left({ℱ}^{-1}f\right)(\xi )=f(\xi ).$

Оскільки оператор ${ℱ}^{-1}$ — подібний до оператора $ℱ$, то попередня рівність випливає з оберненої теореми Фур'є (за допомогою заміни змінних $\xi =-\zeta$)

$\begin{array}{cc}f& ={ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\xi =\\ & =\underset{{ℝ}^n}{\int }\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}x\cdot \zeta }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}y\cdot \zeta }f(y)\mathrm{d}y\mathrm{d}\zeta ==ℱ\left({ℱ}^{-1}f\right)(x).\end{array}$

З іншого боку, це випливає з відношення між оператором ${ℱ}^{-1}$ та фліп-оператором $R$, та асоціативності композиції функцій, оскільки

$f={ℱ}^{-1}(ℱf)=ℱRℱf=ℱ\left({ℱ}^{-1}f\right).$

Умови на функцію

Використовуючи обернену теорему Фур'є у фізиці та інженерії, часто припускають, що все "відбувається добре". У математиці подібні евристичні міркування не дозволяються, а обернена теорема Фур'є передбачає специфікацію класів функцій, для яких виконуються умови теореми. Однак не існує "найкращого" класу функцій для розгляду, тому існує кілька варіантів формулювання оберненої теореми Фур'є, хоч і з подібними висновками.

Функції Шварца

Обернена теорема Фур'є виконується для всіх функцій Шварца (грубо кажучи, всіх швидко спадних гладких функцій, всі похідні яких теж є швидко спадними). Ця умова має перевагу в тому, що вона стосується лише функції (без накладання умови на її перетворення Фур'є), а інтеграл, що визначає її перетворення Фур'є, та інтеграл, що визначає обернене перетворення Фур'є, є абсолютно інтегровними. Це формулювання використовується для доведення оберненої теореми Фур'є для узагальнених функцій.

Інтегровні функції з інтегровними перетвореннями Фур'є

Обернена теорема Фур'є виконується для всіх неперервних абсолютно інтегровних функцій (тобто функцій з $L^1({ℝ}^n)$) з абсолютно інтегровними перетвореннями Фур'є. Вони включають у себе всі функції Шварца, тому це більш строге формулювання теореми, ніж наведене вище. Ця умова використовується вище, у пункті твердження.

Можливий варіант — опустити умову про неперервність функції $f$, але все одно вимагати абсолютну інтегровність функції та її перетворення Фур'є. Тоді $f=g$ майже скрізь, де $g$ — неперервна функція і ${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=g(x)$ для довільного $x\in {ℝ}^n$.

Інтегровні функції від однієї змінної

Кускова гладкість, одна змінна

Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто $f\in L^1({ℝ}^n)$) та кусково-гладка, то тоді має місце версія оберненої теореми Фур'є. У цьому випадку визначаємо

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-R}{\overset{R}{\int }}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }g(\xi )\mathrm{d}\xi .$

Тоді для довільного $x\in {ℝ}^n$

${ℱ}^{-1}(ℱf)=\frac{1}{2}(f(x_{-})+f(x_{+})),$

тобто, ${ℱ}^{-1}(ℱf)$ дорівнює середньому арифметичному лівосторонньої та правосторонньої границь функції $f$ у точці $x$. У точках, де функція $f$ — неперервна, ${ℱ}^{-1}(ℱf)=f(x)$.

Для більшої кількості змінних дане формулювання теореми також має місце, але, за словами Фолланда (1992), є "досить делікатним і не дуже корисним".

Кускова неперервність, одна змінна

Якщо функція від однієї змінної абсолютно інтегровна (тобто $f\in L^1({ℝ}^n)$) та кусково-неперервна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є. У цьому випадку інтеграл оберненого перетворення Фур'є визначається за допомогою більш гладкої, ніж розривної, функції відтинання. Більш точно,

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{ℝ}{\int }\phi \left(\frac{\xi }{R}\right){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }g(\xi )\mathrm{d}\xi ,\phi (\xi ):={\mathrm{e}}^{-{\xi }^2}.$

Висновок теореми такий же, як і для кусково-гладких функцій від однієї змінної, що наведений вище.

Неперервність, випадок багатьох змінних

Якщо функція $f$ — неперервна та абсолютно інтегровна на ${ℝ}^n$, то обернена теорема Фур'є має місце доти, поки можна визначити обернене перетворення з гладкою функцією відтинання, тобто

${ℱ}^{-1}g(x):=\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }\phi \left(\frac{\xi }{R}\right){\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }g(\xi )\mathrm{d}\xi ,\phi (\xi ):={\mathrm{e}}^{-|\xi {|}^2}.$

Висновок тепер простіший, для довільного $x\in {ℝ}^n$

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x).$

Без умов регулярності, випадок багатьох змінних

Якщо відкинути всі припущення про (часткову) неперервність функції $f$ та припустити, що функція лише абсолютно інтегровна, то тоді все ще має місце версія оберненої теореми Фур'є. Обернене перетворення знову визначається за допомогою гладкої функції відтинання, але у результаті отримаємо, що

${ℱ}^{-1}(ℱf)(x)=f(x)$

для майже всіх $x\in {ℝ}^n$.

Квадратично інтегровні функції

У цьому випадку перетворення Фур'є не можна безпосередньо визначити як інтеграл, так як він може не бути абсолютно збіжним, тому воно визначається у термінах щільності (див. перетворення Фур'є). Наприклад, поклавши

$g_k(\xi ):=\underset{\{y\in {ℝ}^n:|y|\le k\}}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }g(y)\mathrm{d}y,k\in \mathbb{N},$

маємо, що $ℱf:=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{k\to \mathrm{\infty }}{g}_k$, де границя береться у нормі простору $L^2$. Обернене перетворення також можна визначити через щільність, або через перетворення Фур'є та фліп-оператор $R$. Тоді маємо

$f(x)=ℱ\left({ℱ}^{-1}f\right)(x)={ℱ}^{-1}(ℱf)(x)$

у середньоквадратичній нормі. Для функцій однієї змінної (і лише однієї змінної) можна довести збіжність для майже всіх $x\in ℝ$. Це твердження є Шаблон:Нп, її набагато важче довести, ніж збіжність у середньоквадратичній нормі.

Узагальнені функції

Перетворення Фур'є можна визначити на просторі узагальнених функцій $S^{\prime }({ℝ}^n)$ завдяки дуальності перетворень Фур'є на просторі функцій Шварца. Конкретніше, для функції $f\in S^{\prime }({ℝ}^n)$ та всіх тестових функцій $\phi \in S({ℝ}^n)$ покладемо

$⟨ℱf,\phi ⟩:=⟨f,ℱ\phi ⟩,$

де $ℱf$ визначається за допомогою інтегральної формули. Якщо $f\in L^1({ℝ}^n)\bigcap L^2({ℝ}^n)$, то це узгоджується із звичайним означенням. Можна визначити обернене перетворення ${ℱ}^{-1}:S^{\prime }({ℝ}^n)\to S^{\prime }({ℝ}^n)$ або аналогічно через дуальність оберненого перетворення на просторі функцій Шварца, або через фліп-оператор $R$ (де фліп-оператор визначається за допомогою дуальності). Тоді маємо

$ℱ{ℱ}^{-1}={ℱ}^{-1}ℱ={\mathrm{Id}}_{S^{\prime }({ℝ}^n)}.$

Зв'язок з рядами Фур'є

Обернена теорема Фур'є — аналог збіжності рядів Фур'є. У випадку перетворення Фур'є маємо

$\begin{array}{cc}& f:{ℝ}^n\to ℂ,\hat{f}:{ℝ}^n\to ℂ,\\ & \hat{f}(\xi ):=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y,\\ & f(x)=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }\hat{f}(\xi )\mathrm{d}\xi .\end{array}$

Замість цього, у випадку рядів Фур'є маємо

$\begin{array}{cc}& f:[0,1]\to ℂ,\hat{f}:{ℝ}^n\to ℂ,\\ & \hat{f}(k):=\underset{{[0,1]}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot k}f(y)\mathrm{d}y,\\ & f(x)=\sum _{k\in {\mathbb{Z}}^n}{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot k}\hat{f}(k).\end{array}$

Зокрема, в одновимірному випадку $k\in \mathbb{Z}$ і підсумовування відбувається від $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$.

Застосування

Деякі задачі, зокрема і деякі види диференціальних рівнянь, простіше розв'язати, застосувавши перетворення Фур'є. У цьому випадку розв'язок початкової задачі відновлюється за допомогою оберненого перетворення Фур'є.

У застосуваннях перетворень Фур'є обернена теорема Фур'є часто відіграє істотну роль. У багатьох випадках загальний алгоритм такий: використати перетворення Фур'є, виконати певні перетворення або спрощення, а потім використати обернене перетворення Фур'є.

Більш абстрактно, обернена теорема Фур'є — це твердження про перетворення Фур'є як оператор (див. перетворення Фур'є на функціональних просторах). Наприклад, обернена теорема Фур'є для функцій $f\in L^2({ℝ}^n)$ стверджує, що перетворення Фур'є є унітарним оператором на просторі $L^2({ℝ}^n)$.

Властивості оберненого перетворення

Обернене перетворення Фур'є дуже подібне до звичайного перетворення Фур'є: як обговорювалося вище вони відрізняються лише застосуванням фліп-оператора. Тому властивості перетворення Фур'є зберігаються і для оберненого перетворення Фур'є, наприклад, Шаблон:Нп і лема Рімана—Лебега.

Таблиці перетворень Фур'є можна легко використати для оберненого перетворення Фур'є, за допомогою композиції шуканої функції та фліп-оператора $R$. Наприклад, дивлячись на перетворення Фур'є для прямокутної функції, маємо

$f(x)=\mathrm{rect}(ax)\Rightarrow (ℱf)(\xi )=\frac{1}{|a|}\mathrm{sinc}\left(\frac{\xi }{a}\right),$

тому відповідне обернене перетворення має вигляд

$g(\xi )=\mathrm{rect}(a\xi )\Rightarrow \left({ℱ}^{-1}g\right)(x)=\frac{1}{|a|}\mathrm{sinc}(-\frac{x}{a}).$

Доведення

Для доведення використовується декілька властивостей з використанням функції $f(y)$ та $ℱf(\xi )=\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}y\cdot \xi }f(y)\mathrm{d}y$:

1. Якщо $x\in {ℝ}^n$ та $g(\xi )={\mathrm{e}}^{-2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }\psi (x)$, то $(ℱg)(y)=(ℱ\psi )(y-x).$
2. Якщо $\epsilon \in ℝ$ та $\psi (\xi )=\phi (\epsilon \xi )$, то $(ℱ\psi )(y)=(ℱ\phi )\frac{(\frac{y}{\epsilon })}{|\epsilon |}.$
3. Для функцій $f,g\in L^1({ℝ}^n)$ з теореми Фубіні випливає, що $\int g(\xi )\cdot (ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi =\int (ℱg)(y)\cdot f(y)\mathrm{d}y.$
4. Нехай $\phi (\xi )={\mathrm{e}}^{\mathrm{-}\mathrm{\pi }\mathrm{(}\mathrm{|}\mathrm{\xi }\mathrm{|}{\mathrm{)}}^{\mathrm{2}}}$, тоді $(ℱ\phi )(y)=\phi (y)$.
5. Нехай ${\phi }_{\epsilon }(y)=\frac{\phi (\frac{y}{\epsilon })}{{\epsilon }^n}$.

Символом $*$ позначимо згортку функцій, ${\phi }_{\epsilon }$ — Шаблон:Нп: для будь-якої неперервної функції $f\in L^1({ℝ}^n)$ та точки $x\in {ℝ}^n$ має місце рівність $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\epsilon \to 0}({\phi }_{\epsilon }*f)(x)=f(x)$ (де збіжність є поточковою).

Оскільки, за припущенням, $ℱf\in L^1({ℝ}^n)$, то з теореми Лебега про мажоровану збіжність випливає, що

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }(ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi =\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-\pi {\epsilon }^2|\xi {|}^2+2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }(ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi .$

Нехай $g_x(\xi )={\mathrm{e}}^{-\pi {\epsilon }^2|\xi {|}^2+2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }$. Використовуючи властивості 1, 2 та 4, за необхідності повторно для кратних інтегралів, отримаємо

$(ℱg_x)(y)=\frac{1}{{\epsilon }^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{{\epsilon }^2}|x-y{|}^2}={\phi }_{\epsilon }(x-y).$

Використовуючи властивість 3 для функцій $f$ та $g_x$, для довільного $x\in {ℝ}^n$ маємо

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{-\pi {\epsilon }^2|\xi {|}^2+2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }(ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi =\underset{{ℝ}^n}{\int }\frac{1}{{\epsilon }^n}{\mathrm{e}}^{-\frac{\pi }{{\epsilon }^2}|x-y{|}^2}f(y)\mathrm{d}y=({\phi }_{\epsilon }*f)(x),$

або згортку функції $f$ та згладжувального оператора. Але оскільки $f\in L^1({ℝ}^n)$, то з властивості 5 випливає, що

$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }({\phi }_{\epsilon }*f)(x)=f(x).$

Збираючи все разом, отримаємо, що

$\underset{{ℝ}^n}{\int }{\mathrm{e}}^{2\pi \mathrm{i}x\cdot \xi }(ℱf)(\xi )\mathrm{d}\xi =f(x).$

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book