Лема Рімана — Лебега

Лема Рімана — Лебеґа стверджує, що інтеграл від функції, такої як на малюнку є малим. Інтеграл наближатиметься до нуля при збільшенні числа коливань.

У математиці лема Рімана — Лебеґа, названа на честь Бернхарда Рімана та Анрі Лебега, стверджує, що перетворення Фур'є або перетворення Лапласа $L^1$-функції занулюється в нескінченності. Має важливе значення в гармонічному та асимптотичному аналізах.

Твердження

Якщо $f$ $L^1$-інтегровна на ${ℝ}^d$, тобто, якщо інтеграл Лебега від $|f|$ — скінченний, то перетворення Фур'є функції $f$ задовольняє

$\hat{f}(z)\equiv \underset{{ℝ}^d}{\int }f(x)\exp (-iz\cdot x)dx\to 0,|z|\to \mathrm{\infty }.$

Доведення

Спочатку припустимо, що $f(x)={\chi }_{(a,b)}(x)$, функція індикатор відкритого інтервалу.

Тоді:

$\int f(x)e^{i\xi x}dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{i\xi x}dx=\frac{e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi }\to 0$ як $|\xi |\to \mathrm{\infty }$

За адитивністю границь, те саме справедливо для довільної крокової функції. Тобто для будь-якої функції $f$, заданої як:

$f=\sum _{i=1}^N{c}_i{\chi }_{(a_i,b_i)},c_i\in ℝ,a_i\le b_i\in ℝ$

Маємо:

$\underset{|\xi |\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f(x)e^{i\xi x}dx=0$

Нарешті, нехай $f\in L^1$ довільна.

Зафіксуємо $\epsilon \in ℝ>0$.

Оскільки крокові функції щільні в $L^1$, існує покрокова функція $g$ такий, що:

$\int |f(x)-g(x)|dx<\epsilon$

За нашим попереднім аргументом та означенням границі складеної функції існує $N\in \mathbb{N}$ такі, що для всіх $|\xi |>N$:

$|\int g(x)e^{i\xi x}dx|<\epsilon$

За адитивністю інтегралів:

$\int f(x)e^{i\xi x}dx=\int (f(x)-g(x))e^{i\xi x}dx+\int g(x)e^{i\xi x}dx$

Використовуючи нерівність трикутника для комплексних чисел, нерівність трикутника для інтегралів, мультиплікативність абсолютного значення та формулу Ейлера:

$|\int f(x)e^{i\xi x}dx|\le \int |f(x)-g(x)|dx+|\int g(x)e^{i\xi x}dx|$

Для усіх $|\xi |>N$, використовуючи попередні висновки права частина попередньої нерівності обмежена $2\epsilon$. Оскільки $\epsilon$ було довільним, маємо:

$\underset{|\xi |\to \mathrm{\infty }}{\lim }\int f(x)e^{i\xi x}dx=0$

для усіх $f\in L^1$.

Інші версії

Лема Рімана — Лебеґа має справедлива в багатьох інших ситуаціях.

• Якщо $f{L}^1$-інтегровна і визначена на $(0,\mathrm{\infty })$, то лема Рімана-Лебеґа також застосовна до перетворення Лапласа функції$f$. Тобто,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-tz}dt\to 0$

при $|z|\to \mathrm{\infty }$ у півплощині $Re(z)\ge 0$.

• Лема справедлива і для рядів Фур'є: якщо $f$ є інтегровною функцією на інтервалі, то коефіцієнти Фур'є функції $f$ прямують до 0 при $n\to \pm \mathrm{\infty }$,

${\hat{f}}_n\to 0.$

Випливає якщо довизначити ƒ нулем поза інтервалом визначення, а відтак застосувати версію леми до всього дійсного відрізка.

• Подібне твердження є тривіальним для Шаблон:Math функцій. Щоб побачити це, зверніть увагу, що перетворення Фур'є переводить $L^2$ в $L^2$, а для таких функцій існують $l^2$ розклад в ряд Фур'є.

• Однак лема не виконується для довільних розподілів. Наприклад, розподіл дельта-функції Дірака формально має скінченний інтеграл на дійсній прямій, але його перетворення Фур'є є константою (точне значення залежить від форми використовуваного перетворення) і не прямує до нуля в нескінченності.

Застосування

Лема Рімана — Лебеґа може бути використана для доведення справедливості асимптотичних наближень для інтегралів. Строге доведення методу найшвидшого спуску та методу нерухомої фази, серед інших, базуються на лемі Рімана-Лебеґа.

Доведення

Зупинимося на одновимірному випадку, доведення для вищих порядків подібне. Нехай $f$ визначена на компактній множині гладка функція. Тоді інтегруючи частинами маємо

$|\int f(x)e^{-izx}dx|=|\int \frac{1}{iz}{f}^{\prime }(x)e^{-izx}dx|\le \frac{1}{|z|}\int |f^{\prime }(x)|dx\to 0,z\to \pm \mathrm{\infty }.$

Якщо $f$ довільна інтегровна функція, її можна наблизити за нормою $L^1$ визначеною на компакті гладкою функцією $g$. Виберемо g так, щоб || ƒ − g || _{L ¹} < ε. Тоді

$\underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\hat{f}(z)|\le \underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx|+\underset{z\to \pm \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}|\int g(x)e^{-ixz}dx|\le \epsilon +0=\epsilon ,$

а оскільки $\epsilon >0$ — довільне, то отримуємо твердження теореми.

Література

• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч2
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Mathworld
• https://proofwiki.org/wiki/Euler's_Formula Шаблон:Webarchive