Метод стаціонарної фази

Метод стаціонарної фази (наближення стаціонарної фази) — основний методом асимптотичного аналізу у математиці та математичній фізиці, що застосовується до інтегралів, підінтегральна функція яких осицилює, тобто інтегралів на кшталт:

$I(k)=\int g(x)e^{ikf(x)}dx$

що беруться по n-вимірному просторі Rⁿ де i — уявна одиниця. Тут f і g — дійснозначні гладкі функції. Роль g — забезпечення збіжності; тобто , g — функція критерію. Велике дійсне число k розглядається в границі k → ∞.

Основи

Основна ідея методу стаціонарної фази полягає в скорочуванні синусоїд з у швидкозмінною фазою. Якщо багато синусоїд мають однакові фази, то вони додаються, підсилюючи одна одну. Якщо, проте, ці ж синусоїди мають фази, які швидко змінюються частотою, вони будуть додаватись, погашуючи одна одну.

Приклад

Розглянемо функцію

$f(x,t)=\frac{1}{2\pi }\underset{ℝ}{\int }F(\omega )e^{i(kx-\omega t)}d\omega$

Фазовий доданок в цій функції, $\varphi =kx-\omega t$ є "стаціонарним" коли

$\frac{d}{d\omega }(k\left(\omega \right)x-\omega t)\approx 0$

або еквівалентно,

$\frac{d\omega }{dk}\approx \frac{x}{t}$

Розв'язок цього рівняння дає домінуючу частоту ${\omega }_{dom}(x,t)$ для даних $x$ і $t$. Якщо ми розкладемо $\varphi$ в ряд Тейлора поблизу ${\omega }_{dom}$ і знехтуємо доданками порядку вищого ніж $(\omega -{\omega }_{dom}{)}^2$, то

$\varphi \sim k({\omega }_{dom})x-{\omega }_{dom}t+\frac{x}{2}\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}(\omega -{\omega }_{dom}{)}^2$

Коли $x$ велике, навіть мала різниця $\omega -{\omega }_{dom}$ згенерує швидку осциляцію в інтегралі, приводячи до скорочення. Таким чином, ми можемо розширити границі інтегрування поза границі розкладу в ряд Тейлора. Якщо ми подвоїмо вклад дійсної частини з додатних частот перетворення щоб врахувати від'ємні частоти:

$f(x,t)=\frac{1}{2\pi }2\text{Re}\{\exp \left[i[k({\omega }_{dom})x-{\omega }_{dom}t]\right]|F({\omega }_{dom})|\underset{ℝ}{\int }\exp [i\frac{x}{2}\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}(\omega -{\omega }_{dom}{)}^2]d\omega \}$

Проінтегрувавши, маємо

$f(x,t)\sim \frac{|F({\omega }_{dom})|}{\pi }\sqrt{\frac{2\pi }{x\left|\frac{d^{2}k}{d{\omega }^2}\right|}}\cos [k({\omega }_{dom})x-{\omega }_{dom}t\pm \frac{\pi }{4}]$

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Див. також

• Метод перевала
• Метод Лапласа