Нерівність Шура

В математиці, нерівність Шура, названа в честь німецького математика Іссаї Шура, стверджує, що для довільного додатнього дійсного числа $t$ та довільних невід'ємних дійсних чисел $x,y,z$ справджується наступна нерівність:

$x^t(x-y)(x-z)+y^t(y-x)(y-z)+z^t(z-x)(z-y)⩾0$

причому, рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або $x=y=z$ або два з чисел $x,y,z$ рівні між собою, а третє є нулем.

Найбільш вживаним та відомим є випадок при $t=1$, коли дана нерівність набуває вигляду

$x^3+y^3+z^3+3xyz⩾x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}x+z^{2}y$

Доведення

Оскільки нерівність симетрична відносно змінних $x,y,z$, то без обмеження загальності, вважатимемо $x⩾y⩾z$. Тоді нерівність Шура стає рівносильною наступній нерівності:

$(x-y)[x^t(x-z)-y^t(y-z)]+z^t(z-x)(z-y)⩾0$

яка виконується з огляду на те, що $x^t(x-z)⩾x^t(y-z)⩾y^t(y-z)$. Також, очевидно що рівність можлива лиш при $x=y=z$ або $x=y$ та $z=0$. Врахувавши симетричні варіанти, маємо, що в початковій нерівності рівність досягається тоді і тільки тоді, коли або $x=y=z$ або два з чисел $x,y,z$ рівні між собою, а третє є нулем, що і треба було довести.

Узагальнення

Узагальненням нерівності Шура є наступна нерівність: для дійсних чисел $x,y,z$ та невід'ємних дійсних $a,b,c$:

$a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+c(z-x)(z-y)⩾0$

яка справджується коли виконується хоч одна з наступних умов:

• $x⩾y⩾z$ та $a⩾b$
• $x⩾y⩾z$ та $c⩾b$
• $x⩾y⩾z$ та $a+c⩾b$
• $x⩾y⩾z⩾0$ та $ax⩾by$
• $x⩾y⩾z⩾0$ та $cz⩾by$
• $x⩾y⩾z⩾0$ та $ax+cz⩾by$
• $a,b,c$ - сторони деякого трикутника
• $a,b,c$ - квадрати сторін деякого трикутника
• $ax,by,cz$ - сторони деякого трикутника
• $ax,by,cz$ - квадрати сторін деякого трикутника
• Існує опукла функція або монотонна $f:I⟶R^{+}$ , де $I$- це інтервал, що містить числа $x$, $y$, $z$, причому $a=f(x)$, $b=f(y)$, $c=f(z)$

В 2007 році румунський математик Валентин Ворніку показав, що наступне узагальнення нерівності Шура справджується:

Якщо $a,b,c,x,y,z\in ℝ$, причому $a⩾b⩾c$ та або $x⩾y⩾z$ чи $z⩾y⩾x$ і $k\in {\mathbb{Z}}^{+}$ та $f:ℝ\to {ℝ}_0^{+}$ є або опуклою, або монотонною, то справджується наступна нерівність:

$f(x)(a-b{)}^k(a-c{)}^k+f(y)(b-a{)}^k(b-c{)}^k+f(z)(c-a{)}^k(c-b{)}^k\ge 0.$

Неважко переконатись, що при $x=a,y=b,z=c,k=1,f(n)=n^r$ ця нерівність перетворюється в нерівність Шура.

Див. також

• Нерівність
• Нерівність Коші — Буняковського
• Нерівність Гельдера
• Нерівність трикутника
• Нерівність Єнсена

Посилання

1. https://web.archive.org/web/20160426234320/http://web.mit.edu/~darij/www/VornicuS.pdf
2. http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/Vornicu-Schur_Inequality
3. http://www.imomath.com/index.php?options=596