Метакомпактний простір

У математиці, зокрема загальній топології, топологічний простір називається метакомпактним, якщо для кожного його відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення. Тобто, для будь-якого відкритого покриття топологічного простору, існує подрібнення, яке знову є відкритим покриттям із властивістю, що кожна точка є елементом лише у скінченній кількості множин подрібнення.

Топологічний простір називається зліченно метакомпактним, якщо для кожного зліченного відкритого покриття існує точково скінченне подрібнення.

Формальне означення

Нехай $𝒰=(U_i{)}_{i\in I}$ є відкритим покриттям топологічного простору $X$, тобто сім'єю відкритих підмножин для яких $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$ і $𝒱=(V_j{)}_{j\in J}$ є сім'єю відкритих підмножин, що задовольняє умови:

• $X=\bigcup _{j\in J}{V}_j$,   тобто $𝒱$ теж є відкритим покриттям простору $X$
• $\mathrm{\forall }j\in J:\mathrm{\exists }i\in I:V_j\subset U_i$, тобто $𝒱$ є подрібненням покриття $𝒰$
• $\mathrm{\forall }x\in X:|\{j\in J;x\in V_j\}|<\mathrm{\infty }$,   тобто покриття $𝒱$ є точково скінченним.

Приклади

• Кожен паракомпактний простір є метакомпактним. Це означає, наприклад, що всі компактні простори і метричні простори є метакомпактними.
• Прикладом метакомпактного простору, що не є паракомпактним є дошка Дьєдоне. Дошка Дьєдоне є також прикладом того, що метакомпактний простір може не бути нормальним.
• Простим прикладом простору, що не є метакомпактним але є зліченно метакомпактним) є площина Немицького.
• Стрілка Зоргенфрея є паракомпактним, а тому і метакомпактним простором, проте добуток двох стрілок (площина Зоргенфрея) не є метакомпактним простором.
• Зліченно компактний простір Лінделефа є метакомпактним і кожен сепарабельний метакомпактний простір є простором Лінделефа.

Властивості

• Замкнутий підпростір метакомпактного простору теж є метакомпактним.
• Кожен метакомпактний простір є ортокомпактним.
• Нормальний метакомпактний простір є зліченно паракомпактним але може не бути паракомпактним.
• Кожен метакомпактний нормальний простір задовольняє властивість стиснення: для довільного відкритого покриття $𝒰=(U_i{)}_{i\in I}$ існує таке покриття $𝒱=(V_i{)}_{i\in I}$ індексоване тією ж множиною, що $V_i\subset U_i$ і для всіх замикань також ${\overline{V}}_i\subset U_i.$ Якщо покриття $𝒰$ є точково скінченним, то таким є і $𝒱.$
• Добуток компактного простору і метакомпактного простору є метакомпактним.
• Для того, щоб цілком регулярний простір X був компактним, необхідно і достатньо, щоб X був метакомпактним і псевдокомпактним.

Розмірність Лебега

Топологічний простір X має розмірність Лебега n, якщо для кожного відкритого покриття X існує подрібнення, таке що жодна точка простору X належить не більш ніж n + 1 множині із подрібнення і якщо n є мінімальним значенням, для якого це справджуєть. Якщо такого мінімального n не існує то простір має нескінченну розмірнісь Лебега. Усі простори скінченної міри Лебега є очевидно метакомпактними.

Див. також

• Компактний простір
• Нормальний простір
• Паракомпактний простір
• Розмірність Лебега
• Цілком регулярний простір

Література

• Шаблон:Cite journal.
• Шаблон:Cite book P.23.