Лема Брезіса — Ліба

У математичному аналізі лема Брезіса — Ліба є основним результатом в теорії міри. Вона названа на честь Шаблон:Нп та Елліота Ліба, які довели її в 1983 році. Лему можна розглядати за певних умов як покращення леми Фату до рівності. Вона була корисна при дослідженні багатьох варіаційних проблемШаблон:Sfnm.

Лема та її доведення

Твердження леми

Нехай $(X,\mu )$ — простір із мірою, а $\{f_n\}$ — послідовність вимірних комплекснозначних функцій на $X$, які майже скрізь збігаються до функції $f$. Гранична функція $f$ — вимірна автоматично. Лема Брезіса — Ліба стверджує, що якщо $p$ — додатне число, то

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{X}{\int }||f{|}^p-|f_n{|}^p+|f-f_n{|}^p|\mathrm{d}\mu =0,$

за умови, що послідовність $\{f_n\}$ є рівномірно обмеженою у просторі $L^p(X,\mu )$Шаблон:Sfnm. Суттєвим наслідком, який посилює лему Фату у застосуванні до послідовності $|f_n{|}^p$, є рівність

$\underset{X}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{X}{\int }|f_n{|}^p\mathrm{d}\mu -\underset{X}{\int }|f-f_n{|}^p\mathrm{d}\mu ),$

що випливає з нерівності трикутника. Цей наслідок часто приймають як твердження леми, хоча він не має більш прямого доведенняШаблон:Sfnm.

Доведення

Доведення базується на нерівностях

$\begin{array}{cc}{W}_n\equiv ||f_n{|}^p-|f{|}^p-|f-f_n{|}^p|& \le ||f_n{|}^p-|f-f_n{|}^p|+|f{|}^p\\ & \le \epsilon |f-f_n{|}^p+C_{\epsilon }|f{|}^p.\end{array}$

Наслідком є те, що $W_n-\epsilon |f-f_n{|}^p$, яке майже скрізь збігається до нуля, обмежується зверху інтегровною функцією, незалежно від $n$. Спостерігаємо, що

$W_n\le \max (0,W_n-\epsilon |f-f_n{|}^p)+\epsilon |f-f_n{|}^p,$

а застосування теореми Лебега про мажоровану збіжність до першого члена з правої частини показує, що

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}\underset{X}{\int }{W}_n\mathrm{d}\mu \le \epsilon \underset{n}{\sup }\underset{X}{\int }|f-f_n{|}^p\mathrm{d}\mu .$

Обмеженість супремуму в правій частині при довільному $\epsilon$ показує, що ліва частина повинна бути нульовою.

Див. також

• Теорія міри
• Простір із мірою
• Лема Фату
• Теорема Лебега про мажоровану збіжність
• Варіаційне числення

Джерела

• Шаблон:Wikicite
• Шаблон:Wikicite
• Шаблон:Wikicite
• Шаблон:Wikicite
• Шаблон:Wikicite
• Шаблон:Wikicite