Замкнута опукла функція

Функцію $f : ℝ^{n} \to ℝ$ називають замкнутою, якщо для кожного $α \in ℝ$ , підрівнева множина ${x \in dom f | f (x) \leq α}$ це замкнута множина.

Тотожно, якщо надграфік визначений через $epi f = {(x, t) \in ℝ^{n + 1} | x \in dom f, f (x) \leq t}$ замкнутий, тоді функція $f$ замкнута.

Це визначення правильне для всіх функцій, але найуживаніше для опуклих функцій.

Властивості

Якщо $f : ℝ^{n} \to ℝ$ це неперервна функція і $dom f$ замкнута, тоді $f$ замкнута.
Якщо $f : ℝ^{n} \to ℝ$ це неперервна функція і $dom f$ відкрита, тоді $f$ закрита тоді й лише тоді, коли вона збігається до $\infty$ уздовж кожної послідовності, яка збігається до межової точки $dom f$ .^[1]