Надграфік

Надгра́фік або суперграф — множина точок, що лежить над графіком цієї функції.

Вивчання неперервних дійснозначних функцій у аналізі функцій дійсної змінної традиційно було тісно пов'язане з вивчанням їхніх графіків — множин, що надають геометричну інформацію (і чуйку) про ці функції.Шаблон:Sfn Надграфіки слугують тій самій меті в галузі опуклого і Шаблон:Нп аналізів, які зосереджені на опуклих функціях на проміжку $[-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }]$ замість неперервних функцій у векторному просторі (як-от $ℝ$ або ${ℝ}^2$).Шаблон:Sfn Це відбувається завдяки тому, що для таких функцій, геометричне чуття легше отримати з надграфіка функції ніж з її графіка.Шаблон:Sfn Подібно до того, як графіки використовують у аналізі функцій дійсної змінної, надграфік часто можна використати, щоб дати геометричне тлумачення властивостям опуклої функції, щоб сформулювати і довести гіпотези або, щоб допомогти спорудити контрприклади.

Означення

Функція (її графік позначений синім) і її надграфік (позначений зеленим)

Нехай дана функція $f:M\to ℝ.$ Її надграфіком називається множина

$\mathrm{epi}f\equiv \{(x,y)\in M\times ℝ\mid y\ge f(x)\}.$

Зауваження

Надграфік, очевидно, містить в собі графік функції $f$, тобто $\mathrm{epi}f\supset \mathrm{\Gamma },$ де

$\mathrm{\Gamma }\equiv \left\{\right(x,f(x))\in M\times ℝ\mid x\in M\}.$

Властивості

• Надграфік функції це опукла множина тоді і тільки тоді, коли функція опукла.
• Надграфік функції це замкнена множина тоді і тільки тоді, коли функція напівнеперервна знизу.

Джерела

• Шаблон:Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer