Евклідова топологія дійсної прямої

В математиці, зокрема в загальній топології, евклідова, або природна топологія є однією з топологій, заданих на множині всіх дійсних чисел $ℝ$. Її стандартну базу складають інтервали $(a,b)=\{x\in ℝ\mid a<x<b\}$, $a,b\in ℝ$, $a<b$.

Властивості

• Евклідова топологія на $ℝ$ породжена евклідовою метрикою $d(x,y)=|x-y|$ на $ℝ$, де $|x|$ означає абсолютне значення (модуль) дійсного числа $x$. Таким чином, метричний простір $ℝ$ задовольняє всі аксіоми відокремлюваності. Крім того, $ℝ$ є повним метричним простором другої категорії.

• $ℝ$ задовольняє другу аксіому зліченності, оскільки множини вигляду $(a,b)$, де $a$ і $b$ раціональні, є зліченною базою $ℝ$. Тому $ℝ$ задовольняє першу аксіому зліченності, є ліндельофовим і сепарабельним. Множина раціональних чисел є зліченною скрізь щільною в $ℝ$ множиною.

• $ℝ$ не є зліченно компактним простором, бо відкриті інтервали $(n,n+2)$ для всіх цілих n покривають $ℝ$, але жодна їх скінченна сукупність не є покриттям $ℝ$. Але $ℝ$ локально компактний і σ-компактний, оскільки відрізки $[a,b]$, $a,b\in ℝ$, $a<b$, компактні.

• Будь-яка замкнена в $ℝ$ множина $A$ є $G_{\sigma }$-множиною, оскільки $A=\bigcap _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n$, де $A_n$ — окіл множини $A$ радіусу $1/n$, $n\in \mathbb{N}$, тобто $A_n=\bigcup _{x\in A}B(x,1/n)$. Кожна точка, що не належить $A$, міститься в ε-околі, який не перетинається з $A$, і таким чином не перетинається з деяким $A_n$.

• Будь-яке відкрите покриття $ℝ$ покриває кожен компактний відрізок $[n,n+1]$, $n\in \mathbb{Z}$, тому відкрите покриття може бути зменшене до послідовності скінченних підпокриттів $G_i^n$ кожного відрізка $[n,n+1]$. Тоді множини $G_i^n\cap (n-1,n+2)$ утворюють локально скінченне покриття, вписане в початкове відкрите покриття. Таким чином, $ℝ$ паракомпактний.

• Топологія на $ℝ$ також може бути задана квазіметрикою $d(x,y)=y-x$, коли $y⩾x$, і $d(x,y)=2(x-y)$, коли $y<x$.

• Набір множин $S_{ab}=\{(x,y)|x,y<b$ чи $x,y>a\}$, де $a,b\in ℝ$ і $a<b$, є передбазою рівномірності $U$, породженої природною топологією на $ℝ$, але $U$ не є звичайною метричною рівномірністю.

• Евклідів $n$-вимірний простір ${ℝ}^n$ визначається як добуток n копій $ℝ$. Топологія добутку породжується базою, яка складається з відкритих прямокутників, тобто множин, які є декартовим добутком відкритих інтервалів з кожної копії $ℝ$. Еквівалентна база складається з відкритих $n$-вимірних куль відносно евклідової метрики $d(x,y)=(\mathrm{\Sigma }(x_i-y_i{)}^2{)}^{\frac{1}{2}}$ в ${ℝ}^n$.