Гіпотеза Борсука

Розрізання відрізка, трикутника та тетраедра на частини меншого діаметра

Гіпотеза Борсука (задача Борсука) — спростована гіпотеза в комбінаторній геометрії:

Чи можливо довільне тіло скінченного одиничного діаметра в $n$-вимірному евклідовому просторі розбити на не більш ніж $n+1$ частину так, що діаметр кожної частини буде меншим за 1?

Висунув Шаблон:Нп 1933 року. Відіграла значну роль у розвитку комбінаторної геометрії XX століття: протягом тривалого періоду гіпотезу підтверджено для низки окремих випадківШаблон:Перехід та основні зусилля були спрямовані на пошук доведень у загальному випадку, оскільки вагомих сумнівів у її справедливості не виникалоШаблон:Sfn. Однак 1993 року знайдено контрприкладШаблон:Перехід.

Шаблон:Станом на доведено, що гіпотеза істинна при $n⩽3$, і хибна для $n⩾64$, статус твердження для $4⩽n<64$ залишається нез'ясованим.

Розрізання правильного шестикутника ширини 1 на 3 частини діаметром менше ніж 1.

Сприятливі розв'язки

Випадок $n=1$ очевидний. Випадок $n=2$ довів 1933 року сам Борсук, скориставшись результатом Шаблон:Iw 1929 року, згідно з яким будь-яку фігуру діаметра 1 можна помістити в правильний шестикутник ширини 1, а такий шестикутник у свою чергу допускає розрізання на три п'ятикутники діаметра $\frac{\sqrt{3}}{2}<1$ . Крім того, Борсук довів, що $n$-вимірну кулю не можна розділити на $n$ частин меншого діаметра, тим самим затвердивши нижню оцінку кількості частин (доведення ґрунтується на теоремі Борсука — Уляма).

1946 року Шаблон:Нп довів справедливість гіпотези при всіх $n$ для опуклих тіл із гладкою межеюШаблон:Sfn.

1947 року Шаблон:Iw довів випадок $n=3$ для всіх обмежених тілШаблон:Sfn, незалежно від нього 1955 року цей самий результат отримав британський математик Егглстон; просте доведення, подібний до Борсукового, знайшли пізніше Бранко Ґрюнбаумом і Альдар Геппеш; вони довели, що будь-яке тіло діаметра 1 можна помістити у певний октаедр з відсіченими трьома вершинами, який у свою чергу допускає розбиття на 4 частини діаметра менше 0,9888.

Щонайменше від початку 1970-их років гіпотезу підтверджено для центрально-симетричних тіл. 1971 року Клод Роджерс довів гіпотезу для будь-якої множини, інваріантної відносно дії групи перетворень, які залишають на місці правильний $n$-вимірний симплекс.

1993 року Борис Декстер установив справедливість гіпотези для опуклих тіл з поясом із регулярних точок, 1995 року він позитивно розв'язав задачу для всіх тіл обертання в довільних розмірностях.

Число Борсука

Число Борсука $f(n)$ — найменша кількість можливих частин меншого діаметра, на які можна розбити будь-яке обмежене тіло в $n$-вимірному просторі. Паралельно з підтвердженням гіпотези $f(n)=n+1$ в окремих випадках, покращувалися нижні та верхні оцінки для $f(n)$. Порівняно легко отримані оцінки $f(n)⩽(2\sqrt{n}+1{)}^n$ і $f(n)⩽2^n$. 1983 року Маршалл Лассак з'ясував, що $f(n)⩽2^{n-1}+1$.

Серед асимптотичних верхніх оцінок довгий час найкращою була оцінка Шаблон:Iw (1965): $f(n)⩽(\sqrt{2}+o(1){)}^n$; 1988 року Шаблон:Нп показав, що:

$f(n)⩽(\sqrt{\frac{3}{2}}+o(1){)}^n$.

Заперечні розв'язки

Заперечний розв'язок задачі в загальному випадку виявили 1993 року Шаблон:Iw і Шаблон:Iw, які побудували контрприклад у розмірності $n=1325$ та довели невиконання гіпотези для всіх $n>2014$. Крім того, вони показали, що для досить великих $n$, існують $n$-вимірні тіла, які не можна розбити на $(1,203+o(1){)}^{\sqrt{n}}$ частин меншого діаметра. В наступні роки розмірність, вище від якої гіпотеза не виконується, послідовно знижувалася:

• 1993 — $n⩾2015$ (Калаї — Кан),
• 1994 — $n⩾946$ (Ніллі),
• 1997 — $n⩾903$ (Вайсбах — Грей),
• 1997 — $n⩾561$ (Райгородський),
• 2000 — $n⩾560$ (Вайсбах),
• 2001 — $n⩾324$ (Гінрігз),
• 2002 — $n⩾323$ (Піхурко),
• 2003 — $n⩾298$ (Гінрігз — Ріхтер),
• 2013 — $n⩾65$ (Бондаренко),
• 2013 — $n⩾64$ (Єнріх).

Для побудови контприкладів у всіх випадках використано скінченні множини та тонкі комбінаторні результатиШаблон:Sfn. Нижні оцінки для найменшого числа частин меншого діаметра в більшості контрприкладів — $(1,203+o(1){)}^{\sqrt{n}}$, у одному з результатів Райгородського (1999) цю оцінку покращено до $(1,2255+o(1){)}^{\sqrt{n}}$.

Варіації та узагальнення

1953 року Шаблон:Нп висунув гіпотезу, що будь-яке тіло одиничного діаметра в тривимірному просторі допускає розбиття на 4 частини з діаметром:

$\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{6}}\approx 0,888$,

тобто, куля є «найгіршим» у цьому сенсі тіломШаблон:Sfn.

1971 року гіпотезу Борсука підтверджено для сферичного та гіперболічного просторів при $n=2,3$.

1991 року цей результат узагальнено на довільні розмірності для центрально-симетричних опуклих гіперповерхонь.

2012 року вивчено аналоги проблеми Борсука у просторі ${\mathbb{Q}}^n$ з евклідовою метрикою та з метрикою $l_p$.

2019 року розглянуто питання про розбиття довільних обмежених метричних просторів на задану кількість підмножин меншого діаметра, та виявлено критерії здійсненності та нездійсненності такого розбиття залежно від відстані за метрикою Громова — Гаусдорфа від заданого простору до симплексів заданої потужності, де під симплексом розуміють метричний простір, у якому всі ненульові відстані однакові.

Література

• Шаблон:Книга (містить доведення гіпотези в розмірностях 2 і 3)
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Стаття