Теорема Борсука — Уляма
Теорема Бо́рсука — У́ляма стверджує, що кожна неперервна функція із n-сфери в евклідів n-простір відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якщо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована Станіславом Улямом, а в 1933 році вона була доведена Шаблон:Iw.
Теорема
Якщо задана неперервна функція , де — сфера в -мірному лінійному просторі, то існують такі дві діаметрально протилежні точки , що .
Приклади та інтерпретація
З теореми для випадку n = 2 зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні Землі завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими температурою повітря і атмосферним тиском. При цьому припускається, що температура і атмосферний тиск є неперервними функціями точки земної поверхні. Для випадку ж, коли n = 1, з теореми випливає, що на земному екваторі завжди існує пара діаметрально протилежних точок із тією самою температурою повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи Теорему Больцано-Коші.
Наслідки
- З теореми Борсука — Уляма випливає теорема Брауера про нерухому точку.
- Жодна підмножина не є гомеоморфною до .
- Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо покривається n + 1 відкритою множиною, тоді одна з цих пар містить (x, −x) — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука — Уляма)
- Для довільних компактних множин в існує гіперплощина, що ділить кожну з них на дві підмножини однакової міри.
Література
- K. Borsuk Drei Sätze über die n-dimensionale euklidische Sphäre — Fund. Math., 20 (1933), с. 177–190.
- Jiří Matoušek Using the Borsuk-Ulam theorem — Springer Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-00362-2.
- L. Lyusternik and S. Shnirel'man Topological Methods in Variational Problems. — М.:Issledowatelskii Institut Matematiki i Mechaniki pri O. M. G. U., 1930.
- Шаблон:Cite journal
- Allen Hatcher Algebraic Topology