Відображення Гауса

Відображення Гауса ставить у відповідність кожній точці поверхні вектор одиничної нормалі в цій точці. Кінці всіх таких векторів, відкладених від однієї точки, лежать на сфері одиничного радіусу.

Відображення Гауса (сферичне відображення, нормальне відображення) — відображення з гладкої орієнтовної поверхні в тривимірному евклідовому просторі в одиничну сферу, при якому точка поверхні відображається у вектор одиничної нормалі в цій точці. Більш загально подібне відображення можна ввести для гіперповерхонь у евклідових просторах довільної розмірності.

Диференціал відображення Гауса називається відображенням Вейнгартена. Оскільки дотичні площини до поверхні в деякій точці p і до одиничної сфери в образі точки p відображення Гауса є паралельними, відображення Вейнгартена можна інтерпретувати як лінійне відображення на дотичній площині до точки p.

Для підмноговидів евклідового простору довільної розмірності і корозмірності природним аналогом відображення Гауса є відображення, що зіставляє точці підмноговидів точку грассманіана, відповідну дотичному простору в цій точці.

Означення

Нехай S — регулярна диференційовна орієнтовна поверхня. В кожній точці p цієї поверхні існує два одиничні вектори, що є ортогональними до дотичної поверхні у точці p. Вибір одного з цих векторів задає орієнтацію. Оскільки поверхня є орієнтовною, то можна однозначно зробити вибір одиничних нормалей у кожній точці так, що в результаті одержується неперервне нормальне векторне поле. Якщо для точки $p\in S$ позначити відповідний нормальний вектор як N(p), то відображення:

$\mathrm{N}:S\to {𝕊}^{2}p\to \mathrm{N}(p)$

називається відображенням Гауса.

Відображення Гауса є диференційовним і його диференціал $d_p\mathrm{N}$ у деякій точці p називається відображенням Вейнгартена.

Для відображення Вейнгартена дотична площина $T_{\mathrm{N}(p)}{𝕊}^2$ є паралельною до дотичної площини $T_{p}S.$ Це легко можна побачити у локальних координатах $S=S(u,v)$ у деякому околі точки p. Із цього запису отримується параметричний запис образу при відображенні Гауса N(u,v). Продиференціювавши рівність (N(u,v),N(u,v)) = 1 по u і v, отримаємо $2(\frac{\mathrm{d}\mathrm{N}}{\mathrm{d}u},\mathrm{N})=2(\frac{\mathrm{d}\mathrm{N}}{\mathrm{d}v},\mathrm{N})=0$ тобто вектори $\frac{d\mathrm{N}}{du}$ і $\frac{\mathrm{d}\mathrm{N}}{\mathrm{d}v},$ а отже і дотична площина є ортогональними до N. Це ж справедливо за означенням і на площині S. Оскільки площини $T_{\mathrm{N}(p)}{𝕊}^2$ і $T_{p}S$ є ортогональними до одного вектора, то вони є паралельними.

Таким чином вектори на цих двох площинах можна ототожнити і вважати відображення Вейнгартена лінійним відображенням на $T_{p}S$.

Для орієнтовної гіперповерхні у ${ℝ}^n$(або, більш загально, орієнтовного підмноговида корозмірності 1 у диференційовному многовиді) теж можна ввести нормальне одиничне диференційовне векторне поле (таких варіантів знову ж буде 2). Тоді відображення, що кожній точці ставить у відповідність нормаль у точці називається відображенням Гауса. Воно є диференційовним і його диференціал називається відображенням Вейнгартена.

Властивості

• У локальних координатах $S=S(u,v)$ позначаючи $S_u=\frac{\mathrm{d}S}{du},S_v=\frac{\mathrm{d}S}{dv}$ відображення Гауса можна задати як $\mathrm{N}(p)=\frac{S_u\times S_v}{|S_u\times S_v|}.$ Звідси очевидною є диференційовність відображення. Даний запис можна подати для довільної регулярної поверхні тому для кожної такої поверхні відображення Гауса існує локально. Але глобально його можна ввести лише для орієнтовних поверхонь.
• Для відображення Вейнгартена ${\mathrm{d}}_p\mathrm{N}(S_u)={\mathrm{N}}_u,{\mathrm{d}}_p\mathrm{N}(S_v)={\mathrm{N}}_v.$
• Диференціал ${\mathrm{d}}_p\mathrm{N}$ (якщо його, як вище, розглядати як лінійне відображення на $T_{p}S$) є самоспряженим на $T_{p}S$ щодо скалярного добутку успадкованого із ${ℝ}^3$.

Згідно попередньої властивості достатньо довести, що $({\mathrm{N}}_u,S_v)=(S_u,{\mathrm{N}}_v).$ Для цього слід продиференціювати рівності $(\mathrm{N},S_u)=0$ і $(\mathrm{N},S_v)=0$ по v і u відповідно. Тоді $({\mathrm{N}}_v,S_u)+(\mathrm{N},S_{uv})=0,({\mathrm{N}}_u,S_v)+(\mathrm{N},S_{vu})=0$ і тому $({\mathrm{N}}_v,S_u)=-(\mathrm{N},S_{uv})=({\mathrm{N}}_u,S_v).$

• За допомогою відображення Вейнгартена вводиться друга фундаментальна квадратична форма $II(X)=-(d_p\mathrm{N}(X),X).$ Згідно теореми Меньє значення другої фундаментальної форми на одиничному дотичному векторі X є рівним кривині нормального перетину поверхні S визначеному як перетин S і площини заданої векторами N(p) і X.
• Матриця відображення Вейнгартена у базисі $S_u,S_v$ одержується транспонуванням матриці дериваційних формул Вейнгартена . А саме якщо $d_p\mathrm{N}=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right)$ то $a_{11}=\frac{FM-GL}{EG-F^2},a_{21}=\frac{FL-EM}{EG-F^2},a_{12}=\frac{FN-GM}{EG-F^2},a_{22}=\frac{FM-EN}{EG-F^2}.$

У попередніх формулах $E=(S_u,S_u),F=(S_u,S_v),G=(S_v,S_v),$а також $L=-(\mathrm{d}\mathrm{N}(S_u),S_u)=(\mathrm{N},S_{uu}),M=-(\mathrm{d}\mathrm{N}(S_u),S_v)=(\mathrm{N},S_{uv}),N=-(\mathrm{d}\mathrm{N}(S_v),S_v)=(\mathrm{N},S_{vv})$ і всі скалярні добутки розглядаються на дотичній площині у точці p.

• Якобіан відображення Гауса дорівнює гаусовій кривині поверхні в даній точці.
• Більш абстрактно можна дати означення відображення Вейнгартена через коваріантні похідні (афінні зв'язності). Дані означення мають зміст для евклідового простору будь-якої розмірності і є основою для подальших узагальнень зокрема у рімановій геометрії. У евклідовому просторі ${ℝ}^n$ коваріантна похідна для диференційовних векторних полів X, Y в околі точки p задається як ${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y(p)=(X{y}_1,\dots ,X{y}_n)(p),$ де у стандартному базисі друге векторне поле через координати записується як $Y=(y_1,\dots ,y_n),$ а $X{y}_i$ позначає дію векторного поля X як диференціального оператора на функції $y_i.$ Значення ${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y$ в деякій точці p залежить лише від значення векторного поля X у цій точці, а також значення векторного поля Y на деякій прямій, що проходить через точку p і дотичний вектор якої в цій точці рівний X(p). Якщо $\alpha (t)\in {ℝ}^n,\alpha (0)=p,{\alpha }^{\prime }(0)=X(p)$ — така крива то позначивши $Y(t)=(y_1(t),\dots ,y_n(t))=Y(\alpha (t))$ отримаємо ${\overline{\mathrm{\nabla }}}_{X}Y(p)=({y_1}^{\prime }(0),\dots ,{y_n}^{\prime }(0))(p).$ Звідси при тих же позначеннях для гіперповерхні у евклідовому просторі і нормального поля також випливає, що ${\mathrm{d}}_p\mathrm{N}(X)=\mathrm{N}(\alpha (t){)}_{t^{\prime }=0}={\overline{\mathrm{\nabla }}}_X\mathrm{N}.$

Таким чином для доведення властивостей відображення Вейнгартена також можна використовувати властивості коваріантних похідних. Для цього у випадку гіперповерхонь важливим є той факт, що нормальні і дотичні векторні поля N, X на околі точки p на гіперповерхні можна продовжити до векторних полів $\overline{\mathrm{N}},\overline{X}$ в околі цієї точки у евклідовому просторі.

Зокрема для доведення самоспряженості

$({\overline{\mathrm{\nabla }}}_X\mathrm{N},Y{)}_p-(X,{\overline{\mathrm{\nabla }}}_Y\mathrm{N}{)}_p=({\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{X}}\overline{\mathrm{N}},\overline{Y}{)}_p-(\overline{X},{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{Y}}\overline{\mathrm{N}}{)}_p=$

${\overline{X}}_p(\overline{\mathrm{N}},\overline{Y})-(\overline{N},{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{X}}\overline{Y}{)}_p-{\overline{Y}}_p(\overline{\mathrm{N}},\overline{X})+(\overline{\mathrm{N}},{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{Y}}\overline{X}{)}_p=$

$-(\overline{\mathrm{N}},{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{X}}\overline{Y}{)}_p+(\overline{\mathrm{N}},{\overline{\mathrm{\nabla }}}_{\overline{Y}}\overline{X}{)}_p=(\overline{\mathrm{N}},[\overline{Y},\overline{X}]{)}_p=({\mathrm{N}}_p,[Y_p,X_p])=0.$

Приклади

• Для площини заданої рівнянням $ax+by+cz+d=0$відображення Гауса є константою рівною $N=\frac{(a,b,c)}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$ Відповідно відображення Вейнгартена є нульовим лінійним відображенням.
• Для одиничної сфери ${𝕊}^2$ у точці $(x,y,z)$ одиничними нормальними векторами є $(x,y,z)$ і $-(x,y,z).$ Зазвичай обирається обернений нормальний вектор, тоді $\mathrm{N}(x,y,z)=(-x,-y,-z).$ Для відображення Вейнгартена $\mathrm{d}\mathrm{N}(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))={\mathrm{N}}^{\prime }(t)=(-x^{\prime }(t),-y^{\prime }(t),-z^{\prime }(t)),$ для будь-якої кривої $(x(t),y(t),z(t))$ і $\mathrm{N}(t)=\mathrm{N}(x(t),y(t),z(t))$на одиничній сфері. Тоді ${\mathrm{d}}_p{𝕊}^2(v)=-v,v\in T_p{𝕊}^2.$
• Для циліндра $C=\{(x,y,z)\in {ℝ}^3|x^2+z^2=1\}$ у довільній точці дотична площина задається векторами v паралельним осі z і w, що є дотичним до кола $\{(x,y,z_0)\in {ℝ}^3|x^2+z^2=1\}$, що проходить через цю точку. Подібно до попереднього прикладу $\mathrm{N}(x,y,z)=(-x,-y,0)$ і для введених базисних векторів дотичної площини ${\mathrm{d}}_{p}C(v)=0,{\mathrm{d}}_{p}C(w)=-w.$

Див. також

• Дериваційні формули Вейнгартена
• Друга квадратична форма
• Поверхня
• Теорема Меньє

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation