Вага (теорія представлень)

У теорії представлень вагою алгебри A над полем F називається гомоморфізм із A у поле F, або еквівалентно одновимірне представлення A над полем F. Воно є певною мірою аналогом мультиплікативного характеру групи. Подібне поняття також є для алгебр Лі, у цьому випадку вага представлення є узагальненням власного значення, і відповідний власний простір називається ваговим простором.

Мотивація і загальне поняття

Для множини матриць S , кожна з яких є діагоналізовною і які комутують завжди можна одночасно діагоналізувати всі елементи S. У випадку алгебрично замкнутого поля це еквівалентно тому, що будь-яка множина S напівпростих лінійних операторів скінченновимірного векторного простору V існує базис простору V елементи якого є власними векторами усіх лінійних операторів із S. Кожен із цих спільних власних векторів v ∈ V визначає лінійний функціонал на підалгебрі U у End(V) породженій множиною S; цей функціонал зіставляє кожному елементу U його власне значення для власного вектора v. Це відображення є мультиплікативним, і образом одиничного відображення є 1; тобто дане відображення є гомоморфізмом алгебри U у базове поля. Це узагальнення власного значення є прототипом поняття ваги.

Поняття ваги є пов'язаним із поняттям мультиплікативного характеру у теорії груп, тобто із гомоморфізмом χ із групи G у мультиплікативну групу поля F. Відображення χ: G → F^× задовольняє χ(e) = 1 (де e є одиничним елементом G) і

$\chi (gh)=\chi (g)\chi (h)$ для всіх g, h у G.

Справді, якщо G діє на векторному просторі V над полем F, кожен власний простір для усіх елементів G, якщо такий існує, задає мультиплікативний характер на G: власне значення на цьому спільному власному просторі для кожного елемента групи.

Поняття мультиплікативного характеру можна розширити для кожної алгебри A над полем F, замінивши χ: G → F^× на лінійний функціонал χ: A → F для якого:

$\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)$

для всіх a, b у A. Якщо алгебра A діє на векторному просторі V над полем F то будь-який спільний власний простір задає гомоморфізм із A у F, що присвоює кожному елементу A його власне значення.

Якщо A є алгеброю Лі (яка загалом не є асоціативною алгеброю), тоді замість вимоги мультиплікативності характеру вимагається щоб він відображав дужки Лі у відповідний комутатор; але оскільки F є комутативним це означає що значення характеру має бути рівним нулю: χ([a,b])=0.

Вагою на алгебрі Лі g над полем F називається лінійне відображення λ: g → F із λ([x, y])=0 для всіх x, y у g. Відповідно будь-яка вага на алгебрі Лі g є рівною нулю на похідній алгебрі [g,g] і тому повністю визначається вагою на комутативній алгебрі Лі g/[g,g]. Тому фактично поняття ваги становить інтерес саме для комутативних алгебр Лі, де вони зводяться до поняття узагальненого власного значення для комутуючих лінійних операторів.

Якщо G є групою Лі або алгебричною групою, то мультиплікативний характер θ: G → F^× задає вагу χ = dθ: g → F на відповідній алгебрі Лі за допомогою диференціювання.

Ваги у теорії представлень напівпростих алгебр Лі

Нехай $𝔤$ — напівпроста алгебра Лі над алгебрично замкнутим полем і $𝔥$— її підалгебра Картана. Підалгебра Картана є комутативною і тому для неї має зміст поняття ваги як воно подано у вступному розділі. Ці поняття зокрема також специфічне поняття коренів (які є ненульовими вагами для приєднаного представлення) відіграють ключову роль у вивченні і класифікації напівпростих алгебр Лі і їх представлень.

Вага представлення

Приклад ваг представлення алгебри Лі sl(3,C)

Нехай V — представлення алгебри Лі $𝔤$ над алгебрично замкнутим полем F і λ — лінійний функціонал на $𝔥$. Тоді ваговим простором V з вагою λ називається підпростір $V_{\lambda }$ за означенням рівний

$V_{\lambda }:=\{v\in V:\mathrm{\forall }H\in 𝔥,H\cdot v=\lambda (H)v\}$.

Вагою представлення V називається лінійний функціонал λ для якого ваговий простір є ненульовим. Ненульові елементи вагового простору називаються ваговими векторами. Вагові вектори є одночасно власними векторами для дії усіх елементів $𝔥$. Відповідні власні значення задає функціонал λ.

Множина

$V^{\prime }=\underset{\lambda \in {𝔥}^{*}}{⨁}{V}_{\lambda }$

є прямою сумою різних вагових просторів і V' є підмодулем V. Якщо V = V' то V називається ваговим модулем. Зокрема у випадку скінченновимірних представлень V завжди є рівним прямій сумі своїх вагових просторів. Звідси випливає також скінченність множини ваг у цьому випадку.

Дія кореневих векторів

Якщо V є приєднаним представленням алгебри $𝔤$ то ненульові ваги V називаються коренями, вагові простори називаються кореневими просторами, а вагові вектори - кореневими векторами. А саме, лінійний функціонал $\alpha$ на $𝔥$ називається коренем, якщо $\alpha \ne 0$ і існує ненульовий $X$ у $𝔤$ для якого

$[H,X]=\alpha (H)X$

для всіх $H$ у $𝔥$. Корені напівпростої алгебри Лі утворюють систему коренів у абстрактному означенні.

Система коренів повністю визначає відповідну напівпросту алгебру Лі і використовується для їх класифікації. Для теорії представлень основне значення має такий результат: Якщо V є представленням $𝔤$, v є ваговим вектором з вагою $\lambda$ і X — кореневим вектором з коренем $\alpha$, то

$H\cdot (X\cdot v)=[(\lambda +\alpha )(H)](X\cdot v)$

для всіх H у $𝔥$. Тобто $X\cdot v$ є або нульовим вектором або ваговим вектором з вагою $\lambda +\alpha$. Тобто при дії $X$ ваговий простір з вагою $\lambda$ відображається у ваговий простір з вагою $\lambda +\alpha$.

Цілочисловий елемент

Цілочислові елементи (трикутна ґратка), домінантні цілочислові елементи (чорні точки), і фундаментальні ваги для sl(3,C)

Нехай ${𝔥}_0^{*}$ — дійсний простір ${𝔥}^{*}$ що є дійсною оболонкою коренів $𝔤$. Введемо на ньому скалярний добуток одержаний із форми Кіллінга. Вся ця побудова має зміст оскільки усі значення форми Кіллінга на коренях є раціональними числами і форму можна лінійно поширити на дійсну лінійну оболонку отримавши при цьому скалярний добуток. Цей скалярний добуток також буде інваріантним щодо групи Вейля, яка є породженою відбиттями щодо гіперплощин ортогональних до коренів. За допомогою скалярного добутку можна ідентифікувати ${𝔥}_0^{*}$ із відповідним простором ${𝔥}_0$. Також можна ввести поняття кокореня для кореня $\alpha$ як

$H_{\alpha }=2\frac{\alpha }{⟨\alpha ,\alpha ⟩}$.

Елемент $\lambda \in {𝔥}_0$ називається цілочисловим якщо

$⟨\lambda ,H_{\alpha }⟩=2\frac{⟨\lambda ,\alpha ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}\in 𝐙$

для всіх коренів $\alpha$. Мотивацією для цієї умови є те що кокорінь $H_{\alpha }$ можна ідентифікувати із елементом H у стандартній базі $X,Y,H$ для sl(2,F)-підалгебри у g. Відповідно до стандартних результатів для sl(2,F), власні значення $H_{\alpha }$ для будь-якого скінченновимірного представлення є цілими числами. Тому вага будь-якого скінченновимірного представлення $𝔤$ є цілочисловою.

Фундаментальними вагами ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$ називаються ваги, що утворюють базис у ${𝔥}_0$ що є двоїстим до множини кокоренів, що відповідають простим кореням. Тобто фундаментальні ваги задаються умовами

$2\frac{⟨{\omega }_i,{\alpha }_j⟩}{⟨{\alpha }_j,{\alpha }_j⟩}={\delta }_{i,j}$

де ${\alpha }_1,\dots {\alpha }_n$ є простими коренями. Елемент $\lambda$ є цілочисловим, якщо і тільки якщо він є цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. Множина всіх $𝔤$-цілочислових ваг є ґраткою у ${𝔥}_0,$ що називається ваговою ґраткою для $𝔤$ і позначається $P(𝔤)$.

На малюнку зображено приклад алгебри Лі sl(2,F), система коренів якої є системою $A_2$. У цьому випадку є два прості корені, ${\gamma }_1$ і ${\gamma }_2$. Перша фундаментальна вага, ${\omega }_1$, є ортогональною до ${\gamma }_2$ і ортогонально відображається на половину ${\gamma }_1$; подібні властивості також виконуються для ${\omega }_2$. Ваговою ґраткою у цьому випадку є трикутна ґратка.

Якщо алгебра Лі $𝔤$ є алгеброю Лі групи Лі G то $\lambda \in {𝔥}_0$ називається аналітично цілочисловим (G-цілочисловим) елементом якщо кожен t у $𝔥$ для якого $\exp (t)=1\in G$ задовольняє властивість $⟨\lambda ,t⟩\in 2\pi i𝐙$. Якщо представлення $𝔤$ є диференціалом представлення G, тоді будь-яка вага представлення буде G-цілочисловою. Для напівпростої групи G множина всіх G-цілочислових ваг є підґраткою P(G) ⊂ P($𝔤$). Якщо G є однозв'язною, то P(G) = P($𝔤$). Якщо G не є однозв'язною, то ґратка P(G) є меншою P($𝔤$) і їх факторгрупа є ізоморфною фундаментальній групі G.

Часткове впорядкування на множині ваг

На множині ваг можна ввести часткове упорядкування, яке використовується при описі і класифікації представлень алгебри g. Нехай R — множина коренів і $R^{+}$ — додатні корені.

Нехай $\mu$ і $\lambda$ — два елементи у ${𝔥}_0$. Елемент $\mu$ називається вищим або старшим, ніж $\lambda$ (позначається $\mu ⪰\lambda$), якщо $\mu -\lambda$ є лінійною комбінацією додатних коренів із невід'ємними цілими коефіцієнтами.

Домінантні ваги

Цілочисловий елемент λ називається домінантним якщо $⟨\lambda ,\gamma ⟩\ge 0$ для кожного додатного кореня γ. Еквівалентно, λ є домінантним якщо він є невід'ємною цілочисловою комбінацією фундаментальних ваг. У випадку $A_2$, домінантні цілочислові елементи належать сектору із кутом 60 градусів.

Множина всіх λ (не обов'язково цілочислових) для яких $⟨\lambda ,\gamma ⟩\ge 0$ називається замкнутою фундаментальною камерою Вейля асоційованою із даною множиною додатних коренів.

Теорема про старшу вагу

Вага $\lambda$ представлення $V$ алгебри $𝔤$ називається старшою вагою якщо кожна інша вага $V$ є меншою, ніж $\lambda$.

Представлення (не обов'язково скінченновимірне) V $𝔤$ називається модулем найвищої ваги якщо воно є породжене ваговим вектором v ∈ V який переходить у нуль при дії будь-якого додатного кореневого вектора у $𝔤$. Кожен незвідний $𝔤$-модуль із старшою вагою є модулем старшої ваги, але у нескінченновимірному випадку, модуль старшої ваги може не бути незвідним.

Теорія незвідних представлень алгебри $𝔤$ значною мірою будується на ідеї старшої ваги. Ключовим результатом тут є теорема про старшу вагу, яка стверджує що

(1) Для кожного незвідного скінченновимірного представлення існує старша вага,

(2) Старша вага є завжди домінантним, цілочисловим елементом,

(3) Два незвідні (можливо нескінченновимірні) представлення із однаковою старшою вагою є ізоморфними,

(4) Кожен елемент є старшою вагою деякого незвідного представлення,

(5) Представлення зі старшою вагою є скінченновимірним тоді і тільки тоді коли ця вага є цілочисловою і домінантною. Таким чином існує ізоморфізм між домінантними цілочисловими вагами і класами ізоморфізму скінченновимірних незвідних представлень алгебри Лі.

Ваги незвідних скінченновимірних представлень

Якщо $\lambda$ є вагою деякого незвідного скінченновимірного представлення, а $\alpha$— коренем алгебри Лі, то існують цілі числа $r⩾0⩾q$ для яких $r-q=2\frac{⟨\lambda ,\alpha ⟩}{⟨\alpha ,\alpha ⟩}$ і всі лінійні функціонали виду $\lambda +i\alpha ,r⩾i⩾q$ є вагами, тобто утворюється неперервна послідовність елементи якої відрізняються на $\alpha$. До того ж відбиття у щодо гіперплощини ортогональної до $\alpha$просто розвертає порядок у цій послідовності. Зокрема якщо $\lambda$є старшою вагою, то для всіх $\alpha$ число r є рівним нулю.

Для незвідного скінченновимірного представлення із старшою вагою $\lambda$цілочисловий елемент $\alpha$ є вагою тоді і тільки тоді, коли він і всі його спряжені щодо дії групи Вейля елементи є нижчими, ніж $\lambda$.

Для розмірності незвідного скінченновимірного представлення $V_{\lambda }$ із старшою вагою $\lambda$виконується формула Вейля

$\dim (V_{\lambda })=\frac{\prod _{\alpha \in R^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha )}{\prod _{\alpha \in R^{+}}(\rho ,\alpha )}$

де $\rho$позначає суму додатних коренів поділену на 2.

Якщо ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_n$є системою фундаментальних ваг, то $V_{{\omega }_i}$називаються фундаментальними незвідними модулями.

Значення фундаментальних незвідних модулів полягає у тому, що якщо вони відомі, то всі інші незвідні скінченновимірні модулі (що перебувають у взаємно однозначній відповідності із цілочисловими домінантними вагами) отримуються як підмодулі їх тензорних добутків. Зокрема якщо $\lambda =m_1{\omega }_1+\dots +m_n{\omega }_n$то $V_{\lambda }$ є підмодулем тензорного добутку $\underset{i=1}{\overset{n}{⨂}}{V}_{{\omega }_i}^{m_i}$, де $V_{{\omega }_i}^{m_i}$позначає тензорний степінь.

Модулі $V_{{\omega }_1}$, що відповідають фундаментальним вагам ${\omega }_1$ називаються базовими фундаментальними. Більшість інших фундаментальних модулів можна отримати як зовнішні добутки базових фундаментальних модулів.

Зокрема для класичних алгебр типу A_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною n+1, а всі інші фундаментальні модулі отримуються як $V_{{\omega }_i}={\wedge }^i{V}_{{\omega }_1}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{{\omega }_i}=C_{n+1}^i,$ де $C_{n+1}^i$позначає біноміальний коефіцієнт.

Для класичних алгебр типу B_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n+1, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_{n-1}$ отримуються як $V_{{\omega }_i}={\wedge }^i{V}_{{\omega }_1}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{{\omega }_i}=C_{2n+1}^i.$ Фундаментальний модуль для фундаментальної ваги ${\omega }_n$для алгебри B_n має розмірність 2ⁿ і його можна отримати із алгебри Кліффорда простору $V_{{\omega }_1}$.

Для класичних алгебр типу D_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_{n-2}$ отримуються як $V_{{\omega }_i}={\wedge }^i{V}_{{\omega }_1}$ і відповідно для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{{\omega }_i}=C_{2n}^i.$Фундаментальні модулі для фундаментальних ваг ${\omega }_{n-1},{\omega }_n$для алгебри D_n обидва мають розмірність 2ⁿ і їх можна отримати із алгебри Кліффорда простору $V_{{\omega }_1}$.

Для класичних алгебр типу C_n розмірність базових фундаментальних модулів є рівною 2n, фундаментальні модулі для інших фундаментальних ваг отримуються як ядра деяких лінійних відображень із ${\wedge }^i{V}_{{\omega }_1}$у ${\wedge }^{i-2}{V}_{{\omega }_1}$і для розмірностей цих модулів виконується рівність $\dim V_{{\omega }_i}=C_{2n}^i-C_{2n}^{i-2}.$

Див. також

• Напівпроста алгебра Лі

Література

• Шаблон:Citation
• R. Carter, I. Macdonald, G. Segal Lectures on Lie groups and Lie algebras (London Mathematical Society Student texts Vol. 32). 5th ed. Cambridge University Press, Cambridge 2006, ISBN 0-521-49579-2
• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Citation