Інтегрування за допомогою формули Ейлера

В інтегральному численні комплексні числа та формула Ейлера можуть бути використані для знаходження інтегралів, що містять тригонометричні функції. Використовуючи формулу Ейлера, будь-яка тригонометрична функція може бути записана через експоненціальні функції ${\mathrm{e}}^{ix}$ та ${\mathrm{e}}^{-ix}$, а потім проінтегрована. Цей спосіб часто простіший і швидший, ніж використання тригонометричних тотожностей або інтегрування частинами, і є досить ефективним для інтегрування будь-якого раціонального виразу, що містить тригонометричні функції.

Формула Ейлера

Формула Ейлера стверджує, що

${\mathrm{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x$.

Підстановка $-x$ замість $x$ дає рівняння

${\mathrm{e}}^{-ix}=\cos x-i\sin x$,

оскільки косинус — парна, а синус — непарна функції. Ці два рівняння можна розв'язати відносно синуса та косинуса:

$\cos x=\frac{{\mathrm{e}}^{ix}+{\mathrm{e}}^{-ix}}{2}\text{та}\sin x=\frac{{\mathrm{e}}^{ix}-{\mathrm{e}}^{-ix}}{2i}$.

Приклади

Перший приклад

Розглянемо інтеграл

$\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x$.

Стандартний підхід до цього інтегралу полягає у використанні формули половинного кута для спрощення підінтегральної функції. Однак, можна використовувати тотожність Ейлера замість цього:

$\begin{array}{cc}\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x& =\int {\left(\frac{{\mathrm{e}}^{ix}+{\mathrm{e}}^{-ix}}{2}\right)}^2\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{4}\int ({\mathrm{e}}^{2ix}+2+{\mathrm{e}}^{-2ix})\mathrm{d}x.\end{array}$

На цьому етапі можливий перехід до дійсних чисел за формулою ${\mathrm{e}}^{2ix}+{\mathrm{e}}^{-2ix}=2\cos 2x$. Крім того, можливе інтегрування комплексних експонент без повернення до тригонометричних функцій:

$\begin{array}{cc}\frac{1}{4}\int ({\mathrm{e}}^{2ix}+2+{\mathrm{e}}^{-2ix})\mathrm{d}x& =\frac{1}{4}(\frac{{\mathrm{e}}^{2ix}}{2i}+2x-\frac{{\mathrm{e}}^{-2ix}}{2i})+C\\ & =\frac{1}{4}(2x+\sin 2x)+C.\end{array}$

Другий приклад

Розглянемо інтеграл

$\int {\sin }^{2}x\cos 4x\mathrm{d}x$.

Знаходження цього інтегралу за допомогою тригонометричних тотожностей досить громіздке, але використання тотожності Ейлера робить його відносно нескладним:

$\begin{array}{cc}\int {\sin }^{2}x\cos 4x\mathrm{d}x& =\int {\left(\frac{{\mathrm{e}}^{ix}-{\mathrm{e}}^{-ix}}{2i}\right)}^2\left(\frac{{\mathrm{e}}^{4ix}+{\mathrm{e}}^{-4ix}}{2}\right)\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{8}\int ({\mathrm{e}}^{2ix}-2+{\mathrm{e}}^{-2ix})({\mathrm{e}}^{4ix}+{\mathrm{e}}^{-4ix})\mathrm{d}x\\ & =-\frac{1}{8}\int ({\mathrm{e}}^{6ix}-2{\mathrm{e}}^{4ix}+{\mathrm{e}}^{2ix}+{\mathrm{e}}^{-2ix}-2{\mathrm{e}}^{-4ix}+{\mathrm{e}}^{-6ix})\mathrm{d}x.\end{array}$

На цьому етапі можна одразу використати метод безпосереднього інтегрування, або спочатку замінити підінтегральну функцію на $2\cos 6x-4\cos 4x+2\cos 2x$ і продовжити інтегрування. Будь-який з методів дає

$\int {\sin }^{2}x\cos 4x\mathrm{d}x=-\frac{1}{24}\sin 6x+\frac{1}{8}\sin 4x-\frac{1}{8}\sin 2x+C$.

Використання дійсної частини

Крім тотожності Ейлера може бути корисним використання дійсної частини комплексного виразу. Наприклад, розглянемо інтеграл

$\int {\mathrm{e}}^x\cos x\mathrm{d}x$.

Оскільки $\cos x$ — дійсна частина функції ${\mathrm{e}}^{ix}$, то

$\int {\mathrm{e}}^x\cos x\mathrm{d}x=\mathrm{Re}(\int {\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{ix}\mathrm{d}x).$

Інтеграл праворуч легко знайти:

$\int {\mathrm{e}}^x{\mathrm{e}}^{ix}\mathrm{d}x=\int {\mathrm{e}}^{(1+i)x}\mathrm{d}x=\frac{{\mathrm{e}}^{(1+i)x}}{1+i}+C.$

Отже,

$\begin{array}{cc}\int {\mathrm{e}}^x\cos x\mathrm{d}x& =\mathrm{Re}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{(1+i)x}}{1+i}\right)+C={\mathrm{e}}^x\mathrm{Re}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{ix}}{1+i}\right)+C\\ & ={\mathrm{e}}^x\mathrm{Re}\left(\frac{{\mathrm{e}}^{ix}(1-i)}{2}\right)+C={\mathrm{e}}^x\frac{\cos x+\sin x}{2}+C.\end{array}$

Дроби

Загалом, цей метод може бути використаний для обчислення будь-яких дробивих виразів, що містять тригонометричні функції. Наприклад, розглянемо інтеграл

$\int \frac{1+{\cos }^{2}x}{\cos x+\cos 3x}\mathrm{d}x$.

Використовуючи тотожність Ейлера, отримаємо

$\frac{1}{2}\int \frac{12+{\mathrm{e}}^{2ix}+{\mathrm{e}}^{-2ix}}{{\mathrm{e}}^{ix}+{\mathrm{e}}^{-ix}+{\mathrm{e}}^{3ix}+{\mathrm{e}}^{-3ix}}\mathrm{d}x$.

Якщо виконати Шаблон:Iw $u={\mathrm{e}}^{ix}$, то отримаємо інтеграл від дробово-раціональної функції:

$-\frac{i}{2}\int \frac{1+12u^2+u^4}{1+u^2+u^4+u^6}\mathrm{d}u$.

Будь-яка раціональна функція є інтегрованою (наприклад, використовуючи елементарні дроби), і тому будь-який дріб, що містить тригонометричні функції, також може бути інтегрованим.

Див. також

• Шаблон:Iw
• Підстановка тангенса половинного кута
• Підстановки Ейлера