Інтегральний оператор Фредгольма

Інтегра́льний опера́тор Фредгольма — цілком неперервний лінійний інтегральний оператор вигляду

$(Af)(x)=\underset{G}{\int }K(x,t)f(t)dt,$

що відображає один простір функцій в інший. Тут $G$ — область в евклідовому просторі ${ℝ}^n$, $K(x,t)$ — функція, задана на декартовому квадраті $G\times G$, звана ядром інтегрального оператораШаблон:Sfn. Для цілком неперервності оператора $A$ на ядро $K(x,y)$ накладаються додаткові обмеження. Найчастіше розглядають неперервні ядраШаблон:Sfn, $L_2$-ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn, а також полярні ядраШаблон:SfnШаблон:Sfn. Інтегральний оператор Фредгольма та його властивості використовують при розв'язуванні інтегрального рівняння Фредгольма.

Властивості

Лінійність

Інтегральний оператор Фредгольма є лінійним, тобто $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$.

Неперервність

Інтегральний оператор з неперервним на $\overline{G}\times \overline{G}$ ядром $K(x,y)$, переводить $L_2(G)$ в $C(\overline{G})$ (і, отже, $C(\overline{G})$ в $C(\overline{G})$ і $L_2(G)$ в $L_2(G)$) і обмежений (неперервний), причому

$\Vert Af{\Vert }_C\le M\sqrt{V}\Vert f{\Vert }_{L_2},f\in L_2(G),$

$\Vert Af{\Vert }_C\le MV\Vert f{\Vert }_C,f\in C(\overline{G}),$

$\Vert Af{\Vert }_{L_2}\le MV\Vert f{\Vert }_{L_2},f\in L_2(G),$

де

$M=\max {\mathrm{\backslash limits}}_{x\in \overline{G},y\in \overline{G}}|K(x,y)|,V=\underset{G}{\int }dy.$Шаблон:Sfn.

Інтегральний оператор з $L_2$-ядром:

$\underset{G}{\int }\underset{G}{\int }|K(x,y){|}^{2}dxdy\le N^2<\mathrm{\infty }$

переводить $L_2(G)$ в $L_2(G)$, неперервний і задовольняє оцінці:

$\Vert Af{\Vert }_{L_2}\le N\Vert f{\Vert }_{L_2}.$Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Існують умови неперервності інтегральних операторів з $L_p$ в $L_q$Шаблон:Sfn.

Цілком неперервність

Інтегральний оператор із неперервним ядром $K(x,y)$ є цілком неперервним з $L_2(G)$ в $C(\overline{G})$ тобто переводить будь-яку множину, обмежену в $L_2(G)$ у множину, передкомпактну в $C(\overline{G})$Шаблон:Sfn. Цілком неперервні оператори чудові тим, що для них справедлива альтернатива Фредгольма. Інтегральний оператор з неперервним ядром є границею послідовності скіняенних операторів із виродженими ядрами. Аналогічні твердження справедливі для інтегрального оператора з $L_2$-ядромШаблон:Sfn.

Існують також слабші достатні умови цілком неперервності (компактності) інтегрального оператора з $L_p$ в $L_q$Шаблон:Sfn.

Спряжений оператор

Споряжений оператор до оператора $A$ з $L_2$-ядром у гільбертовому просторі $L_2(G)$ має вигляд

$(A^{*}f)(x)=\underset{G}{\int }\overline{K(y,x)}f(y)dy.$

Якщо $K(x,y)=\overline{K(y,x)}$, то інтегральний оператор Фредгольма $A$ є самоспряженимШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обернений оператор

За досить малих значень $|\lambda |$ оператор $I-\lambda A$ (де $I$ — одиничний оператор) має обернений вигляду $I+\lambda R$, де $R$ — інтегральний оператор Фредгольма з ядром $R(x,y,\lambda )$ — резольвентою ядра $K(x,y)$Шаблон:Sfn.

Див. також

• Інтегральне рівняння Фредгольма
• Ядро інтегрального оператора
• Теорія Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Цілком неперервний оператор

Література

• Шаблон:H Хведелидзе Б. В. Интегральный оператор // Математическая энциклопедия: [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — Шаблон:М.: Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга