Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Шаблон:Числення У математичному аналізі інтеграл Лебега — Стілтьєса узагальнює поняття інтеграла Рімана — Стілтьєса і інтеграла Лебега на дійсній прямій. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією обмеженої варіації на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є регулярною мірою Бореля і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.

Іноді також використовуються терміни інтеграл Лебега — Радона або просто інтеграл Радона. Названий на честь Анрі Лебега, Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у теорії ймовірностей, зокрема теорії стохастичних процесів і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад теорії потенціалу.

Означення

Міра Лебега — Стілтьєса

Нехай Шаблон:Mvar є монотонно неспадною і неперервною справа функцією на інтервалі Шаблон:Math. Множина інтервалів Шаблон:Math, де Шаблон:Math разом із одноточковою множиною Шаблон:Math і порожньою множиною утворює напівкільце множин. Нехай за означенням Шаблон:Math і Шаблон:Math. Подібно можна розглядати випадок коли Шаблон:Mvar є неперервною зліва, Шаблон:Math і Шаблон:Math.

Функція Шаблон:Math є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай $(s_n,t_n],n⩾1$ є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і $\underset{n=1}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨆}}(s_n,t_n]=(s,t].$ Із означення напівкільця для кожного $N⩾1$ для різниці множин виконується рівність $(s,t]\setminus \underset{n=1}{\overset{N}{⨆}}(s_n,t_n]=\underset{n=1}{\overset{m}{⨆}}{S}_n,$ де всі $S_n$ теж є напіввідкритими інтервалами із Шаблон:Math. Із адитивності Шаблон:Math тоді: $w((s,t])=\sum _{n=1}^{N}w((s_n,t_n])+\sum _{n=1}^{m}w(S_n)⩾\sum _{n=1}^{N}w((s_n,t_n]).$ Після граничного переходу також $w((s,t])⩾\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t_n]).$

Навпаки із неперервності справа функції Шаблон:Mvar випливає, що для довільного $\epsilon >0$ існує таке $s^{\prime }\in (s,t),$ що $g(s^{\prime })-g(s)<\epsilon$ і тому $w((s,t])-w((s^{\prime },t])=g(s^{\prime })-g(s)<\epsilon .$

Якщо $t_n=b$ для деякого $n⩾1$ то позначимо $t{\text{'}}_n=b$ для кожного $n⩾1$, для інших інтервалів із неперервності справа функції Шаблон:Mvar як і вище випливає для кожного $n⩾1$ існування такого $t{\text{'}}_n\in (t_n,b)$, що $g(t^{\prime })-g(t)<\frac{\epsilon }{2^n}$ і тому також $w((s_n,t{\text{'}}_n])-w((s_n,t_n])=g(t^{\prime })-g(t)<\frac{\epsilon }{2^n}.$

Множина $[s^{\prime },t]$ є компактною підмножиною $(s,t]$, відповідно вона покривається множинами виду $(s_n,t{\text{'}}_n)$ (і додатково можливо деякою множиною $(s_i,b]$ якщо $t{\text{'}}_i=b$; ця множина теж є відкритою у топології на Шаблон:Math), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого $N⩾1$:

$w((s^{\prime },t])⩽\sum _{n=1}^{N}w((s_n,t{\text{'}}_n])⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t{\text{'}}_n]).$

Із попередніх нерівностей також $w((s,t])<w((s^{\prime },t])+\epsilon$ і $w((s_n,t{\text{'}}_n])<w((s_n,t_n])+\frac{\epsilon }{2^n}$ тому

$w((s,t])<w((s^{\prime },t])+\epsilon <\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t_n])+\frac{\epsilon }{2^n}+\epsilon <\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t_n])+2\epsilon .$

Оскільки $\epsilon >0$ є довільним, то $w((s,t])⩽\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t_n])$ і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно $w((s,t])=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}w((s_n,t_n]).$

Оскільки Шаблон:Math є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно теореми Каратеодорі про продовження, існує єдина міра Шаблон:Math на борелівських підмножинах інтервалу Шаблон:Math, яка узгоджується із Шаблон:Mvar на кожному інтервалі Шаблон:Mvar. Міра Шаблон:Math одержується із зовнішньої міри заданої як

${\mu }_g(E)=\inf \{\sum _i{\mu }_g(I_i):E\subset \bigcup _i{I}_i\}$

де інфімум береться по всіх покриттях множини Шаблон:Mvar зліченною кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на σ-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську σ-алгебру є локально скінченною і σ-скінченною мірою. Ця міра називається мірою Лебега — Стілтьєса для функції Шаблон:Mvar.

Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Нехай спершу  $f:[a,b]\to ℝ$  є вимірною за Борелем і обмеженою, а  $g:[a,b]\to ℝ$  є монотонною і неперервною справа. Якщо Шаблон:Mvar є неспадною то Інтеграл Лебега — Стілтьєса

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

за означенням є інтегралом Лебега функції Шаблон:Math щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса Шаблон:Math.

Якщо Шаблон:Mvar є незростаючою, тоді за означенням

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x):=-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d(-g)(x),$

де останній інтеграл визначений як вище.

Якщо функція Шаблон:Mvar має обмежену варіацію і Шаблон:Math є обмеженою, тоді можна записати

$dg(x)=d{g}_1(x)-d{g}_2(x)$

де Шаблон:Math є повною варіацією функції Шаблон:Mvar на інтервалі Шаблон:Math, а Шаблон:Math. Функції Шаблон:Math і Шаблон:Math є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо Шаблон:Mvar за означенням є рівним:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_1(x)-\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)d{g}_2(x),$

де останні два інтеграли визначені, як і вище.

Інтеграл Деніела

Альтернативно Шаблон:Harv інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як інтеграл Даніела, що розширює звичайний інтеграл Рімана — Стілтьєса. Нехай Шаблон:Mvar є неспадною неперервною справа функцією на Шаблон:Math, і Шаблон:Math позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:

$I(f)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dg(x)$

для всіх неперервних функцій Шаблон:Math. функціонал Шаблон:Mvar задає міру Радона на Шаблон:Math. Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:

$\begin{array}{cc}\bar{I}(h)& =\sup \{I(f):f\in C[a,b],0\le f\le h\}\\ \overline{\stackrel{‾}{I}}(h)& =\inf \{I(f):f\in C[a,b],h\le f\}.\end{array}$

Для вимірних за Борелем функцій:

$\bar{I}(h)=\overline{\stackrel{‾}{I}}(h),$

і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції Шаблон:Mvar. Зовнішня міра Шаблон:Math тоді визначається як

${\mu }_g(A)=\overline{\stackrel{‾}{I}}({\chi }_A)$

де Шаблон:Math є характеристичною функцією множини Шаблон:Mvar.

Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.

Приклад

Нехай Шаблон:Math є спрямлюваною кривою на площині і Шаблон:Math є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину Шаблон:Mvar щодо евклідової метрики зваженої на ρ:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\rho (\gamma (t))d\ell (t),$

де $\ell (t)$ є довжиною кривої Шаблон:Mvar обмеженої на Шаблон:Math. Іноді це поняття називається Шаблон:Mvar-довжиною кривої Шаблон:Mvar. Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо Шаблон:Math позначає обернене до швидкості у точці Шаблон:Mvar, тоді Шаблон:Mvar-довжина Шаблон:Mvar є часом необхідним щоб пройти Шаблон:Mvar. Також Шаблон:Mvar-довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії конформних відображень.

Інтегрування частинами

Функція Шаблон:Math називається "регулярною" у точці Шаблон:Mvar якщо у цій точці існують границі справа і зліва Шаблон:Math і Шаблон:Math і також:

$f(a)=\frac{f(a-)+f(a+)}{2}.$

Для двох функцій Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar, що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar є неперервною або Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar обидві є регулярними, тоді справедливою є формула інтегрування частинами для інтеграла Лебега — Стілтьєса:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}UdV+\underset{a}{\overset{b}{\int }}VdU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),-\mathrm{\infty }<<b<\mathrm{\infty }.$

Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar; тобто із функціями $\tilde{U}(x)=\underset{t\to x^{+}}{\lim }U(t)$ і аналогічно для $\tilde{V}(x).$ Обмежений інтервал (a, b) можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, b), (a, ∞) або (-∞, ∞) якщо Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати комплекснозначні функції.

Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar із обмеженою варіацією, які є неперервними справа і мають ліві границі (тобто є càdlàg-функціями):

$U(t)V(t)=U(0)V(0)+\underset{(0,t]}{\int }U(s-)dV(s)+\underset{(0,t]}{\int }V(s-)dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\mathrm{\Delta }{U}_u\mathrm{\Delta }{V}_u,$

де Шаблон:Math.

Пов'язані поняття

Інтеграл Лебега

Якщо Шаблон:Math для всіх дійсних Шаблон:Mvar, тоді Шаблон:Math є мірою Лебега і інтеграл Лебега — Стілтьєса Шаблон:Math щодо Шаблон:Mvar є еквівалентним інтегралу Лебега Шаблон:Math.

Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей

Якщо Шаблон:Math є неперервною дійснозначною функцією дійсної змінної і Шаблон:Mvar є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним інтегралу Стілтьєса.

Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у теорії ймовірностей де Шаблон:Mvar є функцією розподілу ймовірностей випадкової змінної Шаблон:Mvar. Тоді зокрема:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dv(x)=\mathrm{E}[f(X)].$

Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса

Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.

Нехай функція Шаблон:Mvar від двох змінних задовольняє властивості:

• Якщо $x_1⩽y_1$ і $x_2⩽y_2$ тоді $g(y_1,y_2)-g(x_1,y_2)-g(y_1,x_2)+g(x_1,x_2)⩾0.$
• Шаблон:Mvar є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Тоді для напіввідкритих прямокутників можна визначити:

${\mu }_g((x_1,x_2]\times (y_1,y_2])=g(y_1,y_2)-g(x_1,y_2)-g(y_1,x_2)+g(x_1,x_2).$

Напіввідкриті прямокутники $(x_1,x_2]\times (y_1,y_2]$ разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і ${\mu }_g$ є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Як частковий випадок, якщо Шаблон:Mvar є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти

$\mu ((x_1,x_2]\times (y_1,y_2])=(g(y_2)-g(y_1))\cdot (f(x_2)-f(x_1)).$

Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.

Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті паралелепіпеди

$(x{\text{'}}_1,x^{\prime }{\text{'}}_1]\times (x{\text{'}}_2,x^{\prime }{\text{'}}_2]\times \dots \times (x{\text{'}}_n,x^{\prime }{\text{'}}_n].$

Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце.

Функція $g(x_1,\dots ,x_n)$, що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій $g(x_1),\dots ,g(x_n)$ і визначення міри як

${\mu }_g((x{\text{'}}_1,x^{\prime }{\text{'}}_1]\times \dots \times (x{\text{'}}_n,x^{\prime }{\text{'}}_n])=(g_1(x^{\prime }{\text{'}}_1)-g_1(x{\text{'}}_1))\cdot \dots \cdot (g_n(x^{\prime }{\text{'}}_n)-g_n(x{\text{'}}_n)).$

Явно умови для функції $g(x_1,\dots ,x_n)$ можна записати так:

• Якщо $x{\text{'}}_i⩽x^{\prime }{\text{'}}_i$ для всіх $i\in \{1,\dots ,n\}$ то $\sum _{j=1}^{2^n}(-1{)}^{\lambda (j)}g(X_j)⩾0.$ У цій формулі $X_j$ позначає вершини паралелепіпеда $[x{\text{'}}_1,x^{\prime }{\text{'}}_1]\times [x{\text{'}}_2,x^{\prime }{\text{'}}_2]\times \dots \times [x{\text{'}}_n,x^{\prime }{\text{'}}_n]$ (загальна кількість яких є рівною $2^n$). У загальному кожна така вершина має вигляд $X_j=(y_1,y_2,\dots ,y_n)$ де кожна $y_i$ є рівною $x{\text{'}}_i$ або $x^{\prime }{\text{'}}_i$. $\lambda (j)$ у формулі позначає кількість тих $y_i$ у такому записі точки $X_j$ для яких $y_i=x{\text{'}}_i,$ тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
• $g(x_1,\dots ,x_n)$ є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:

${\mu }_g((x{\text{'}}_1,x^{\prime }{\text{'}}_1]\times \dots \times (x{\text{'}}_n,x^{\prime }{\text{'}}_n])=\sum _{j=1}^{2^n}(-1{)}^{\lambda (j)}g(X_j).$

${\mu }_g$ є σ—адитивною мірою і, знову ж, згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається n-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Див. також

• Інтеграл Даніелла
• Інтеграл Лебега
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр
• Шаблон:Банах.Диференціальне та інтегральне числення
• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Дороговцев.Теорія міри
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation.
• Saks, Stanislaw (1937) Шаблон:Webarchive Theory of the Integral.
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. Шаблон:Isbn.
• Шаблон:Cite book