Нескінченновимірний простір

Шаблон:UniboxНескінченновимірний простір — векторний простір із нескінченно великою розмірністю. Вивчення нескінченновимірних просторів і їх відображень є головним завданням функціонального аналізу. Найпростішими нескінченновимірними просторами є гільбертові простори, найближчі за властивостями до скінченновимірних евклідових просторів.

Визначення

Лінійний векторний простір називають нескінченновимірним, якщо для будь-якого цілого числа $N>0$ у ньому знайдеться лінійно незалежна система, що складається з $N$ векторівШаблон:Sfn.

Базис

Для нескінченновимірного простору існують різні визначення базису. Так, наприклад, базис Гамеля визначають як множину векторів у лінійному просторі, таких, що будь-який вектор простору можна подати у вигляді деякої їх скінченної лінійної комбінації єдиним чином.

Для топологічних векторних просторів можна визначити базис Шаудера. Система елементів $\left\{e_k\right\}$ утворює базис Шаудера простору $E$, якщо кожен елемент $x\in E$ можна подати єдиним чином у вигляді збіжного ряду $x=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{e}_k$Шаблон:Sfn. Базис Шаудера існує не завжди.

Приклади

• Лінійний простір неперервних на даному проміжку функційШаблон:Sfn.
• Гільбертів простір, утворений нескінченною послідовністю чисел $x=({\xi }_1,...,{\xi }_k,...)$ зі збіжною сумою квадратів $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\xi }_n^2<\mathrm{\infty }$Шаблон:Sfn.
• Множина всіх многочленівШаблон:Sfn.
• Фазовий простір у статистичній фізиці є майже нескінченновимірним.
• Шаблон:Нп

Властивості

• Нескінченновимірний простір не ізоморфний ніякому [[Скінченновимірний простір|скінченновимірномуШаблон:Sfn]].

Див. також

• Скінченновимірний простір

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга