Топологічна К-теорія

В математиці, топологічна K-теорія є підрозділом алгебричної топології. На початку свого існування вона застосовувалася для вивчення векторних розшарувань на топологічних просторах за допомогою ідей алгебричної K-теорії, введеної Гротендіком. Ранні роботи по топологічній K-теорії належать Майклу Атія і Фрідріху Хірцебруху.

Означення

Нехай Шаблон:Mvar — компактний гаусдорфів простір і $k=ℝ$ або $ℂ$. Тоді $K_k(X)$ визначається як група Гротендіка комутативного моноїда скінченновимірних $k$-векторних розшарувань над Шаблон:Mvar де алгебричною операцією є сума Вїтні. Тензорний добуток розшарувань задає на K-теорії структуру комутативного кільця. Без індексу, $K(X)$ зазвичай позначає комплексну Шаблон:Mvar-теорію, тоді як дійсна Шаблон:Mvar-теорія іноді позначається як $KO(X)$. Далі розглядається переважно комплексна Шаблон:Mvar-теорія.

Як найпростіший приклад для одноточкового простору група $K(X)$ є групою цілих чисел. Це пов'язано з тим, що всі векторні розшарування над точкою є тривіальними і тому класифікуються своїм рангом, а група Гротендіка натуральних чисел є групою цілих чисел.

Існує також редукована версія Шаблон:Mvar-теорії (група тоді позначається $\tilde{K}(X)$), яка визначається для компактних просторів із виділеної точкою (подібно до редукованих гомологій). Цю теорію можна інтуїтивно розглядати як Шаблон:Math за модулем тривіальних розшарувань. Вона визначається як група класів стабільної еквівалентності розшарувань. Два розшарування Шаблон:Mvar і Шаблон:Mvar називаються стабільно ізоморфними, якщо існують тривіальні розшарування ${\epsilon }_1$ і ${\epsilon }_2$ , такі що $E\oplus {\epsilon }_1\cong F\oplus {\epsilon }_2$. Це відношення еквівалентності задає структуру групи на множині векторних розшарувань, оскільки кожне векторне розшарування може бути доповнено до тривіального розшарування прямою сумою із його ортогональним доповненням. З іншого боку, $\tilde{K}(X)$ можна визначити як ядро відображення $K(X)\to K(x_0)\cong \mathbb{Z}$, що індукується вкладенням виділеної точки Шаблон:Math в Шаблон:Mvar.

Шаблон:Mvar-теорія є мультиплікативною (узагальненою) когомологічною теорією. Коротка точна послідовність просторів з виділеною точкою Шаблон:Math

$\tilde{K}(X/A)\to \tilde{K}(X)\to \tilde{K}(A)$

продовжується до довгої точної послідовності

$\cdots \to \tilde{K}(SX)\to \tilde{K}(SA)\to \tilde{K}(X/A)\to \tilde{K}(X)\to \tilde{K}(A).$

Нехай Шаблон:Math буде Шаблон:Mvar-ою редукованою надбудовою простору. Тоді визначимо:

${\tilde{K}}^{-n}(X):=\tilde{K}(S^{n}X),n\ge 0.$

від'ємні індекси вибираються таким чином, щоб кограничне відображення збільшувало розмірність.

Часто має сенс розглядати нередуковану версію цих груп, визначену як:

$K^{-n}(X)={\tilde{K}}^{-n}(X_{+}).$

Де $X_{+}$ є простором $X$ із окремою виділеною точкою, поміченою знаком «+».

Нарешті теорема Ботта про періодичність, сформульована нижче дозволяє ввести групи із додатними індексами.

Властивості

• Шаблон:Math і, відповідно ${\tilde{K}}^n$ є контраваріантними функторами із гомотопічної категорії просторів (з виділеної точкою) у категорію комутативних кілець. Отже, наприклад, Шаблон:Mvar-теорія над стягуваними просторами є $\mathbb{Z}.$

• Спектром Шаблон:Mvar-теорії є $BU\times \mathbb{Z}$ (з дискретною топологією на $\mathbb{Z}$), тобто $K(X)\cong [X^{+},\mathbb{Z}\times BU],$ де Шаблон:Math позначає класи відображень просторів із виділеною точкою із точністю до гомотопії, а Шаблон:Math — кограниця класифікуючих просторів унітарних груп: $BU(n)\cong \mathrm{Gr}(n,{ℂ}^{\mathrm{\infty }}).$ Аналогічно,

$\tilde{K}(X)\cong [X,\mathbb{Z}\times BU].$

Для дійсної Шаблон:Mvar-теорії використовується простір Шаблон:Math.

• Аналогом операцій Стінрода у Шаблон:Mvar-теорії є операції Адамса. Їх можна використовувати для визначення характеристичних класів в топологічній Шаблон:Mvar-теорії.

• Принцип розщеплення в топологічній Шаблон:Mvar-теорії дозволяє звести твердження про довільні векторні розшарування до тверджень про суми одновимірних розшарувань.

• Ізоморфізм Тома в топологічної Шаблон:Mvar-теорії це:

$K(X)\cong \tilde{K}(T(E)),$

де Шаблон:Math — простір Тома векторного розшарування Шаблон:Mvar над Шаблон:Mvar. Це виконується коли Шаблон:Mvar є спінарним розшаруванням.

• Спектральна послідовність Атії-Хірцебруха дозволяє обчислювати Шаблон:Mvar-групи із звичайних груп когомологій.

• Топологічну Шаблон:Mvar-теорію можна узагальнити до функтора на C*-алгебрі.

Періодичність Ботта

Періодичність, названу на честь Рауля Ботта можна сформулювати так:

• $K(X\times {𝕊}^2)=K(X)\otimes K({𝕊}^2),$ і $K({𝕊}^2)=\mathbb{Z}[H]/(H-1{)}^2$ де H — клас тавтологічного розшарування на ${𝕊}^2={\mathbb{P}}^1(ℂ),$ тобто на сфері Рімана.

• ${\tilde{K}}^{n+2}(X)={\tilde{K}}^n(X).$

• ${\mathrm{\Omega }}^{2}BU\cong BU\times \mathbb{Z}.$

У дійсній Шаблон:Mvar-теорії існує схожа періодичність, тільки по модулю 8.

Застосування

Два важливі застосування топологічної Шаблон:Mvar-теорії належать Френку Адамсу. Спочатку він розв'язав задачу про одиничний інваріант Гопфа, здійснивши обчислення за допомогою операцій Адамса. Потім він довів верхню оцінку кількості лінійно незалежних векторних полів на сферах.

Характер Чженя

Майкл Атія і Фрідріх Хірцебрух довели теорему, яка пов'язує топологічну K-теорію CW-комплексу $X$ з його раціональними когомологіями. Зокрема, вони показали, що існує гомоморфізм

$ch:K_{\text{top}}^{*}(X)\otimes \mathbb{Q}\to H^{*}(X;\mathbb{Q})$

такий, що

$\begin{array}{cc}{K}_{\text{top}}^0(X)\otimes \mathbb{Q}& \cong \underset{k}{⨁}{H}^{2k}(X;\mathbb{Q})\\ K_{\text{top}}^1(X)\otimes \mathbb{Q}& \cong \underset{k}{⨁}{H}^{2k+1}(X;\mathbb{Q})\end{array}$

Існує алгебраїчний аналог, що пов'язує групу Гротендіка когерентних пучків і кільце Чоу гладкого проективного многовида $X$.

Див. також

• Векторне розшарування
• Група Гротендіка
• Теорема Атії — Зінгера про індекс

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite arXiv
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite web