Група Гротендіка

Групою Гротендіка називається деяка група, що є розширенням комутативного моноїда. Поняття активно використовується зокрема у теорії представлень, алгебраїчній геометрії і K-теорії. Названа на честь французького математика Александра Гротендіка, який ввів це поняття в середині 1950-х років.

Універсальна властивість

У найбільш простих термінах, група Гротендіка комутативного моноїда є універсальним способом перетворити цей моноїд в абелеву групу. Нехай $M$ є комутативним моноїдом тобто комутативною напівгрупою із нейтральним елементом. Операцію в $M$ переважно називають додаванням. Група Гротендіка моноїда $M$ (позначається зазвичай $K$ або $K_{0}$ ) є абелевою групою, яка є (в певному сенсі) розширенням моноїда $M$ до групи, тобто допускає операцію не тільки суми, але і різниці двох елементів.

Група Гротендіка $K$ повинна задовольняти універсальну властивість: існує гомоморфізм моноїдів

i : M \to K

такий, що для будь-якого гомоморфізму моноїдів

f : M \to A

в абелеву групу $A$ існує єдиний гомоморфізм абелевих груп

g : K \to A

такий, що

f = g \circ i .

У термінах теорії категорій, функтор, що переводить комутативний моноїд $M$ у його групу Гротендіка $K$ є лівим спряженим функтором функтора забуття із категорії абелевих груп у категорію комутативних моноїдів.

Явна побудова

Розглянемо декартовий добуток $M \times M$ , елементами якого є пари $(a, b)$ , де $a, b \in M$ . На множині $M \times M$ можна ввести відношення еквівалентності, при якому елементи $(a, b)$ і $(a^{'}, b^{'})$ є еквівалентними, якщо для них існує такий елемент $c \in M,$ що

a + b^{'} + c = a^{'} + b + c

Дане відношення дійсно є відношенням еквівалентності бо $(a, b) \sim (a, b)$ випливає з того, що $a + b = b + a,$ симетричність є очевидною, а з еквівалентностей $(a, b) \sim (a^{'}, b^{'})$ і $(a^{'}, b^{'}) \sim (a^{″}, b^{″})$ існування елементів $c, c^{'} \in M,$ для яких $a + b^{'} + c = a^{'} + b + c$ і $a^{'} + b^{″} + c^{'} = a^{″} + b^{'} + c^{'} .$ Але додавши останні дві рівності можна отримати: $a + b^{″} + (a^{'} + b^{'} + c + c^{'}) = a^{″} + b + (a^{'} + b^{'} + c + c^{'}),$ тобто також $(a, b) \sim (a^{″}, b^{″})$ і відношення є транзитивним.

Нехай $[a, b]$ позначає клас еквівалентності відповідної пари. Тоді зокрема $[a, b] = [a + c, b + c]$ для всіх всіх $c \in M$ .

На множині класів еквівалентності можна ввести операцію додавання як:

[a, b] + [a^{'}, b^{'}] = [a + a^{'}, b + b^{'}] .

Дана операція є коректно визначеною тобто не залежить від представників класів еквівалентності. Справді, якщо $(a, b) \sim (c, d)$ і $(a^{'}, b^{'}) \sim (c^{'}, d^{'})$ то $a + d + e = b + c + e$ і $a^{'} + d^{'} + e^{'} = b^{'} + c^{'} + e^{'}$ для деяких $e, e^{'} \in M$ . Тоді додавши ці рівності отримаємо $a + a^{'} + d + d^{'} + (e + e^{'}) = b + b^{'} + c + c^{'} + (e + e^{'}),$ тобто $(a + a^{'}, b + b^{'}) \sim (c + c^{'}, d + d^{'}) .$

Із властивостей моноїда випливає, що це додавання буде асоціативною і комутативною операцією. Клас еквівалентності пар виду $(a, a)$ для всіх $a \in M$ є нейтральним (нульовим) елементом для такого додавання. Для класу еквівалентності $[a, b]$ клас еквівалентності $[b, a]$ буде оберненим. Таким чином множина класів еквівалентності із операцією додавання буде групою, яку і називають групою Гротендіка $K$ моноїда $M$ . Клас еквівалентності $[a, b]$ називається також формальною різницею елементів $a$ і $b$ і позначається $a - b$ .

Кожному елементу $a \in M$ можна поставити у відповідність формальну різницю $a - 0$ , тобто клас еквівалентності $[a, 0]$ , тобто існує гомоморфізм моноїда $M$ у його групу Гротендіка. Цей гомоморфізм буде ін'єктивним тоді і тільки тоді коли $M$ є моноїдом із скороченням, тобто із $a + c = b + c$ випливає, що $a = b .$

Приклади

Цілі числа

Найпростіший приклад групи Гротендіка — побудова цілих чисел із натуральних (включно із нулем). Натуральні числа із нулем і звичайним додаванням $(ℕ, +)$ утворюють комутативний моноїд. Використовуючи конструкцію групи Гротендіка, розглянемо формальні різниці натуральних чисел $n - m$ із відношенням еквівалентності

n - m \sim n^{'} - m^{'} \leftrightarrow n + m^{'} = n^{'} + m .

Тепер можна позначити

n : = [n - 0],

- n : = [0 - n]

для всіх $n \in ℕ$ . Ця конструкція визначає цілі числа $ℤ$ .

Додатні раціональні числа

Для мультиплікативного комутативного моноїда $(ℕ^{*}, *)$ (натуральних чисел без нуля) група Гротендіка складається із формальних часток $p / q$ із відношенням еквівалентності:

p / q \sim p^{'} / q^{'} \Leftrightarrow p q^{'} r = p^{'} q r

для деякого

r \Leftrightarrow p q^{'} = p^{'} q

.

Цю групу очевидно можна ідентифікувати із мультиплікативною групою додатних раціональних чисел.

Приклад моноїда без скорочень

У двох попередніх прикладах розглядалися моноїди із скороченнями. Для таких моноїдів відношення еквівалентності в означенні групи Гротендіка можна записати простіше: $(a, b) \sim (a^{'}, b^{'})$ тоді і тільки тоді, коли $a + b^{'} = a^{'} + b .$ Навпаки коли у групі Гротендіка $(a, b) \sim (a^{'}, b^{'})$ тоді і тільки тоді, коли $a + b^{'} = a^{'} + b$ то відповідний моноїд є моноїдом із скороченням (що відразу випливає із розгляду пар виду $(a, 0)$ ).

Простим прикладом моноїда без скорочень є множина $M = {0, 1}$ із операцією додавання заданою як $0 + 0 = 0$ і $0 + 1 = 1 + 0 = 1 + 1 = 1$ . У цьому випадку на $M \times M$ маємо $(0, 0) \sim (0, 1) \sim (1, 0) \sim (1, 1)$ (якщо взяти $c = 1$ в усіх випадках) і група Гротендіка є тривіальною. Проте якщо розглянути відношення $\equiv$ задане як

(a, b) \equiv (a^{'}, b^{'}),

якщо і тільки якщо

m_{1} + n_{2} = m_{2} + n_{1}

то $(0, 1) \equiv (1, 1), (1, 0) \equiv (1, 1)$ але $(0, 1) \equiv̸ (1, 0),$ тому це відношення не є навіть транзитивним. Цей приклад показує необхідність додавання $c$ в побудові групи.