Пластичне число

Шаблон:UniboxУ математиці пластичне число (також відоме як пластична константа) — це єдиний дійсний корінь рівняння

$x^3=x+1.$

Його числове значення

$\rho =\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}},$

приблизно дорівнює 1,32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505030282785124554759405469934798178728032991 … (цифри утворюють Шаблон:OEIS).

Пластичне число іноді також називають срібним числом, але частіше цю назву використовують для срібного перетину $1+\sqrt{2}$.

Назву пластичне число (спочатку нідерландською plastische getal) дав 1928 року Ганс ван дер Лаан. На відміну від назв золотого і срібного перетинів, слово, пластичний не мало ніякого стосунку до якоїсь речовини, а більше стосувалося того, що йому можна надати тривимірної форми (Padovan 2002; Shannon, Anderson, and Horadam 2006).

Властивості

Пластичне число є границею відношення послідовних членів послідовностей Падована і Перрена і має для них такий самий сенс, як золотий перетин для послідовності Фібоначчі і срібний перетин для чисел Пелля.

Пластичне число також є коренем рівнянь:

$x^5=x^4+1$

$x^5=x^2+x+1$

$x^5=x^4+x^3-x$

$x^6=x^2+2x+1$

і т. д.

Пластичне число подається у вигляді нескінченно вкладених радикалів:

$\rho =\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{\cdots }}}}$.

Теорія чисел

Оскільки пластичне число має мінімальний многочлен Шаблон:Math воно також є коренем поліноміальних рівнянь Шаблон:Math для всіх поліномів Шаблон:Math, кратних Шаблон:Math але не будь-яких інших поліномів з цілими коефіцієнтами. Оскільки дискримінант його найменшого полінома дорівнює −23, його поле розкладу над полем раціональних чисел є Шаблон:Math). Це поле також є полем класів Гільберта Шаблон:Math.

Пластичне число є найменшим числом Пізо. Його спряженими елементами є

$(-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+(-\frac{1}{2}\mp \frac{\sqrt{3}}{2}i)\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}\approx -0.662359\pm 0.56228i,$

з модулем ≈ 0.868837 (Шаблон:OEIS). Це значення також дорівнює Шаблон:Math оскільки добуток трьох коренів мінімального многочлена дорівнює 1.

Тригонометрія

Пластикове число можна записати за допомогою гіперболічного косинуса (Шаблон:Math) та його оберненої функції:

$\rho =\frac{1}{c}\cosh (\frac{1}{3}{\cosh }^{-1}(3c)),c=\cos \left(\frac{2\pi }{12}\right)=\sin \left(\frac{2\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Геометрія

Three partitions of a square into similar rectangles

Існує рівно три способи поділу квадрата на три подібні прямокутники:

1. Тривіальним випадком є три конгруентні прямокутники із відношенням сторін 3:1.
2. Розв'язок, за якого два з трьох прямокутників однакові, а третій має подвоєні, порівняно з ними, довжини сторін; відношення сторін 3:2.
3. Розв'язок за якого всі три прямокутники мають різні розміри і відношення сторін ρ². Відношення лінійних розмірів трьох прямокутників: ρ (великий: середній), ρ² (середній: малий) і ρ³ (великий: малий). Внутрішня довга сторона найбільшого прямокутника (лінія розрізу квадрата) ділить два з чотирьох ребер квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ. Внутрішня коротка сторона середнього прямокутника і довга сторна малого прямокутника ділить одну з інших сторін квадрата на два відрізки, відношення довжин яких дорівнює ρ⁴.

Той факт, що прямокутник з відношенням сторін ρ² можна використати для розрізання квадратів на подібні прямокутники, еквівалентний алгебраїчній властивості числа ρ² пов'язаній з теоремою Рауса — Гурвіца: всі спряжені з ним числа мають додатну дійсну частину.

Посилання

• Шаблон:Книга
• Padovan, Richard (2002), «Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number», Nexus IV: Architecture and Mathematics, Kim Williams Books, pp. 181—193.
• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Нп, Tales of a Number Neglected
• Шаблон:MathWorld