Срібний перетин

Шаблон:UniboxСрібний пере́тин — константа, що відбиває геометричне співвідношення, яке вирізняється певною естетичністю; на відміну від золотого перетину, за алюзією з яким його названо, не має загальноприйнятого означення та позначення.

С. п. — ірраціональне алгебраїчне число, яке дорівнює приблизно 2,41 або точно $1+\sqrt{2}$.

Система числення	Запис С. п.
Двійкова	10.0110101000001001111…
Десяткова	2.4142135623730950488…
Шістнадцяткова	2.6A09E667F3BCC908B2F…
Ланцюговий дріб	$2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{\ddots }}}}$

Найбільш послідовнимШаблон:Джерело означенням є таке: Шаблон:Рамка Дві величини перебувають у С. п., якщо відношення суми меншої та подвоєної більшої величин до більшої величини таке саме, як і більшої до меншої величини. Шаблон:/рамка

Історична довідка

Принаймні останнім часомШаблон:Коли, деякі мистці вважають це відношення «красивим», можливо, спираючись на теорію динамічних прямокутників Шаблон:Не перекладено. Математики досліджували С. п. ще в древній Греції (хоча така назва, можливо, з'явилася нещодавно) через його зв'язок із квадратним коренем з 2, ланцюговими дробами, квадратними трикутними числами, числами Пелля, восьмикутником тощо.

Алгебраїчний зміст

Позначимо С. п. через ${\delta }_S$, тоді:

${\delta }_S=\frac{b+2a}{a}=\frac{a}{b}$.

Це рівняння має єдиний додатний корінь. Шаблон:Hider

${\delta }_S=1+\sqrt{2}\approx 2.41\dots$ (Шаблон:OEIS)

Квадратний корінь з 2 дорівнює довжині гіпотенузи в прямокутному △ABC з довжиною катетів 1

На рисунку праворуч відображено геометричне доведення, що корінь з двох — ірраціональний. Враховуючи, що $n=1$ і $m=\sqrt{2}$, маємо: $\frac{AB}{BE}=\frac{AC}{FC}={\delta }_S$.

Формули

• ${\delta }_S=1+\sqrt{2}\approx 2,414213562373095048801688724210$. Це випливає з $({\delta }_S-1{)}^2=2.$

• ${\delta }_S=[2;2,2,2,\dots ]$ — у вигляді ланцюгового дробу:

${\delta }_S=2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ddots }}}.$

Послідовні наближення цього безперервного дробу (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, …) є відносинами послідовних чисел Пелля. Ці дроби дають хороші раціональні апроксимації срібного перетину, аналогічне тому, що золотий перетин наближається відношенням послідовних чисел Фібоначчі.

Інші визначення

Існують інші визначення «срібного перетину».

Наприклад, відштовхуючись від визначення золотого перетину через ланцюгову дріб, срібними називають будь-які ланцюгові дроби, у яких знаменники постійні:

$[n;n,n,n,\dots ]$.

Для використання у відсотковому розподілі використовується відношення, близьке до однієї з вищевказаних підхожих дробів, — «71/29» (в сумі дають 100).

Також зустрічається визначення срібного перетину: відношення цілого відрізка до меншого як довжини окружності до діаметра, тобто Пі. Особливо цим захоплюється поет, письменник і дослідник старовини Андрій Чернов (див. бібліографію).

Так, він припускає, що саме в срібному перетині розбиваються частини деяких літературних творів: «Мідний вершник» О. С. Пушкіна та «Слово о полку Ігоревім». Також щодо розмаху рук людини до його росту Чернов бачить число $\frac{2\mathrm{\Phi }}{\pi }=1,03\dots$, де Φ — золотий перетин.

Література

• Шаблон:Книга
• Чернов А. «Срібний перетин» / Нова газета. — 13.01.1997. — № 2(422). — С. 8-9
• Шаблон:Книга
• Андрій Чернов. Нотатки про вічне. «Срібний переріз (введення в проблему)» Шаблон:Webarchive

Див. також

• Золотий перетин
• Число Пелля

Посилання

• Explanation of Silver Means
• Шаблон:MathWorld