Теорема Лебега про диференціювання

У математиці, теорема Лебега про диференціювання є теоремою дійсного аналізу, що стверджує, що для майже кожної точки, значення інтегровної функції в точці є границею середнього значення у малому околі точки. Теорема названа на честь Анрі Лебега.

Твердження теореми

Для інтегровної за Лебегом дійсно чи комплекснозначної функції f на Rⁿ, первісна є функцією множин, яка відображає вимірну множину A  у її інтеграл Лебега $f\cdot {\mathrm{𝟏}}_A$, де ${\mathrm{𝟏}}_A$ позначає характеристичну функція множини A. Зазвичай це позначається як

$\mapsto \underset{A}{\int }f\mathrm{d}\lambda ,$

де λ є n–вимірною мірою Лебега.

Похідна цього інтегралу в точці x за означенням є

$\underset{B\to x}{\lim }\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }f\mathrm{d}\lambda ,$

де |B| позначає об'єм (тобто міру Лебега) кулі B  з центром у точці x, і B → x означає, що діаметр B  прямує до 0.Теорема Лебега про диференціювання Шаблон:Harv стверджує, що ця похідна існує і є рівною f(x) для майже кожної точки x ∈ Rⁿ. Також справедливим є трохи сильніше твердження. Зауважимо, що:

$|\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }f(y)\mathrm{d}\lambda (y)-f(x)|=|\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }(f(y)-f(x))\mathrm{d}\lambda (y)|\le \frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }|f(y)-f(x)|\mathrm{d}\lambda (y).$

Сильнішим варіантом теореми є факт, що права сторона нерівності прямує до нуля для майже кожної точки x. Точки x для яких виконується така властивість називаються точками Лебега функції f.

У твердженні теореми кулі B  можна замінити сім'єю $𝒱$ множин U  для яких існує деяке число c > 0 таке, що кожна множина U  із $𝒱$ міститься у куліB  такій, що $|U|\ge c|B|$. Також припускається, що кожна точка x ∈ Rⁿ міститься у довільно малих множинах із $𝒱$. Якщо ці множини стискаються до x, то виконується аналогічне твердження: для майже кожної точки x,

$f(x)=\underset{U\to x,U\in 𝒱}{\lim }\frac{1}{|U|}\underset{U}{\int }f\mathrm{d}\lambda .$

Прикладами такої сім'ї $𝒱$ є багатовимірні куби, а також сім'я $𝒱$(m) прямокутників у R² для яких відношення сторін є у межах між m⁻¹ і m, для деякого m ≥ 1. Якщо на Rⁿ задана довільна норма, то ще одним прикладом є множина куль у метриці породженій цією нормою.

Одновимірний варіант теореми був доведений Лебегом у 1904 Шаблон:Harvtxt. Якщо f є інтегровною на дійсній прямій то функція

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t$

є майже всюди диференційовною і $F^{\prime }(x)=f(x).$

Доведення

Нижче надано стандартне доведення слабшого варіанту теореми Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt, Шаблон:Harvtxt і Шаблон:Harvtxt.

Оскільки твердження є має локальний характер, f можна вважати рівною нулю за межами деякої кулі скінченного радіуса і тому інтегровною. Тоді достатньо довести, що множина

$E_{\alpha }=\{x\in {𝐑}^n:\underset{|B|\to 0,x\in B}{\mathrm{lim\; sup}}\frac{1}{|B|}|\underset{B}{\int }f(y)-f(x)\mathrm{d}y|>2\alpha \}$

має міру 0 для всіх α > 0.

Нехай задано ε > 0. Використовуючи щільність неперервних функцій із компактним носієм у L¹(Rⁿ), можна знайти функцію g , що задовольняє

$\Vert f-g{\Vert }_{L^1}=\underset{{𝐑}^n}{\int }|f(x)-g(x)|\mathrm{d}x<\epsilon .$

Також можна записати:

$\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }f(y)\mathrm{d}y-f(x)=\left(\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }\right(f(y)-g(y)\left)\mathrm{d}y\right)+(\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }g(y)\mathrm{d}y-g(x))+(g(x)-f(x)).$

Перший доданок можна обмежити значенням у точці x максимальної функції Гарді — Літлвуда для f − g, яка буде позначатися $(f-g{)}^{*}(x)$:

$\frac{1}{|B|}\underset{B}{\int }|f(y)-g(y)|\mathrm{d}y\le \underset{r>0}{\sup }\frac{1}{|B_r(x)|}\underset{B_r(x)}{\int }|f(y)-g(y)|\mathrm{d}y=(f-g{)}^{*}(x).$

Другий доданок прямує до нуля при переході до границі, оскільки g є неперервною функцією і третій доданок є обмеженим |f(x) − g(x)|. Для того щоб абсолютне значення початкової різниці було більшим, ніж 2α при переході до границі, потрібно щоб хоча б один із першого і третього доданку був мав абсолютне значення більше α. Згідно оцінки максимальної функції Гарді — Літлвуда:

$\left|\{x:(f-g{)}^{*}(x)>\alpha \}\right|\le \frac{A_n}{\alpha }\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\frac{A_n}{\alpha }\epsilon ,$

для деякої константи A_n, що залежить лише від розмірності n. Згідно нерівності Маркова:

$\left|\{x:|f(x)-g(x)|>\alpha \}\right|\le \frac{1}{\alpha }\Vert f-g{\Vert }_{L^1}<\frac{1}{\alpha }\epsilon$

тому

$|E_{\alpha }|\le \frac{A_n+1}{\alpha }\epsilon .$

оскільки ε було довільним числом, яке можна вибрати як завгодно малим, то звідси випливає твердження теореми.

Коментарії

Теорема є узагальненням основної теореми аналізу, яка є твердженням про рівність інтегровної за Ріманом функції і похідної її первісної. Також можна розглядати обернене твердження, що кожна диференційовна функція є рівною інтегралу її похідної але для цього потрібно розглядати інтеграл Курцвеля — Хенстока для можливості інтегрування довільної похідної.

Осремим випадком теореми Лебега про диференціювання є теорема Лебега про щільність, яка є еквівалентною теоремі про диференціювання для характеристичних функцій вимірних множин.

Твердження теореми також є справедливим для кожної скінченної міри Бореля на Rⁿ замість міри Лебега і, більш загально для скінченної міри Бореля на сепарабельному метричному просторі, для якого виконується якась із умов:

• метричний простір є рімановим многовидом,
• метричний простір є локально компактним ультраметричним простором,
• міра задовольняє умову подвоєння.

Література

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book Шаблон:MathSciNet
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite book