Одинична матриця

Шаблон:Не плутати Одинична матриця — квадратна матриця розміру $n$ з одиницями на головній діагоналі та нулями у всіх інших елементах.

Зазвичай позначається як $I$, іноді з індексом, що вказує розмірність: $I_n$.

Одинична матриця належить до:

• діагональних,
• ортогональних,
• додатноозначених,
• ортогонально-проєкційних матриць
• та бінарних матриць.

Приклади

$I_1=\left[\begin{array}{c}1\end{array}\right],I_2=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],I_3=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],\cdots ,I_n=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$

Властивості

• Квадратна матриця в нульовому степені дає одиничну матрицю того ж розміру:

$A^0=I.$

• Добуток невиродженої квадратної матриці на обернену матрицю дає одиничну матрицю:

$A{A}^{-1}=I.$

• Оберненою до одиничної матриці є вона сама:

$I_n^{-1}=I_n.$

• Визначник одиничної матриці $I_n$ рівний +1, а ранг та слід рівні $n.$
• Власними значеннями $I_n$ одиничної матриці є (+1) кратності $n.$
• Множення довільної матриці на одиничну відповідної розмірності дає в результаті ту ж саму матрицю, тобто вона є нейтральним елементом для множення матриць:

$I_{m}A=A{I}_n=A.$

Зокрема, одинична матриця $I_n$ є нейтральним елементом для GL(n) загальної лінійної групи (групи всіх невироджених квадратних матриць розміру $n$).

Див. також

• Теорія матриць
• Нульова матриця

Джерела

• Шаблон:Гантмахер.Теорія матриць