Центр (алгебра)

У алгебрі центром деякої алгебричної структури називають множину елементів, що комутують з усіма іншими щодо деякої операції.

Центр напівгрупи (моноїда, групи)

Якщо $G$ є напівгрупою, моноїдом чи групою. Тоді центр відповідної структури задається як

Z (G) : = {z \in G ∣ \forall g \in G : g z = z g} .

$Z (G)$ є комутативною піднапівгрупою, підмодоїдом чи підгрупою.

Елементами центру кільця R є елементи, що комутують відносно множення з усіма елементами кільця:

Z (R) = {z \in R ∣ z a = a z \forall a \in R} .

Центр $Z (R)$ комутативним підкільцем кільця R. Кільце є комутативним тоді і тільки тоді, коли воно є рівним своєму центру.

Центром асоціативної алгебри називається підалгебра елементи якої комутують з усіма елементами алгебри:

Z (A) = {z \in A ∣ z a = a z \forall a \in A} .

Алгебра є комутативною тоді і тільки тоді, коли вона є рівною своєму центру.

Центр алгебри Лі $𝔤$ є комутативним ідеалом і визначається як:

𝔷 (𝔤) = {Z \in 𝔤 ∣ [X, Z] = 0 \forall X \in 𝔤}

,

де $[\cdot, \cdot]$ позначає дужки Лі у алгебрі $𝔤$ .

Центром загальної лінійної групи $G L (n, K)$ є множина скалярних ненульових матриць:

Z (G L (n, K)) = {λ E_{n} : λ \in K^{*}}

.

Для асоціативної алгебри із комутатором як дужкою Лі обидва поняття центру є еквівалентними.