Функтор Tor

У математиці, функтор Tor є похідним функтором тензорного добутку модулів над кільцем. Разом із функтором Ext, функтор Tor є одним із основних понять гомологічної алгебри.

У випадку абелевих груп, Tor був введений Едуардом Чехом у 1935 році. Сучасну назву функтора дав Самуель Ейленберг у 1950. Для модулів над довільним кільцем, означення Tor вперше дали Картан і Ейленберг у книзі Homological Algebra.

Означення

Нехай R — кільце. Позначимо R-Mod категорію лівих R-модулів і Mod-R — категорію правих R-модулів. (Якщо R є комутативним, дві категорії можна ідентифікувати.) Для деякого лівого R-модуля B, позначимо T(A) = A ⊗_R B для модуля A з категорії Mod-R. T є правим точним функтором із Mod-R у категорію абелевих груп Ab, і тому для нього існує лівий похідний функтор L_iT. Групи Tor є абелевими групами заданими як:

${\mathrm{Tor}}_i^R(A,B)=(L_{i}T)(A),$

для цілого числа i. Більш детально: для довільної проективної резольвенти

$\cdots \to P_2\to P_1\to P_0\to A\to 0,$

відкинувши елемент A можна одержати ланцюговий комплекс:

$\cdots \to P_2{\otimes }_{R}B\to P_1{\otimes }_{R}B\to P_0{\otimes }_{R}B\to 0$

Для кожного цілого числа i, Tor^R_i(A, B) є гомологією цього комплекса на позиції i. Для від'ємного i група вважається рівною тривіальній. Наприклад, Tor^R₀(A, B) є коядром відображення P₁ ⊗_R B → P₀ ⊗_R B, яке є ізоморфним A ⊗_R B.

Еквівалентно, можна дати означення Tor зафіксувавши A і взявши ліві похідні функтори правого точного функтора G(B) = A ⊗_R B. У цьому випадку береться тензорний добуток A із проективною резольвентою B і тоді гомологічні групи, як і вище. Всі ці побудови є незалежними від вибору конкретних проективних резольвент і дають в результаті однакові групи.

Загалом, для некомутативного кільця R, Tor^R_i(A, B) є лише абелевою групою. якщо R є алгеброю над кільцем S (що означає, зокрема, що S є комутативним), тоді Tor^R_i(A, B) є S-модулем. Якщо R є комутативним то Tor^R_i(A, B) є R-модулем (використовуючи факт, що A ⊗_R B теж є R-модулем у цьому випадку).

Властивості

Нижче подані основні властивості і обчислення для груп Tor.

• Tor^R₀(A, B) ≅ A ⊗_R B для будь-якого правого R-модуля A і лівого R-модуля B.

• TorШаблон:Su(A, B) = 0 для всіх i > 0 якщо або A або B є плоским (наприклад, вільним) R-модулем. Tor можна обчислити використовуючи плоску резольвенту A або B; плоска резольвента є більш загальною ніж проективна (чи вільна) резольвента.

• Для попереднього твердження справедливими є обернені:
  • Якщо TorШаблон:Su(A, B) = 0 для всіх B, тоді A є плоским (і тому TorШаблон:Su(A, B) = 0 для всіх i > 0).
  • Якщо TorШаблон:Su(A, B) = 0 для всіх A, тоді B є плоским (і тому TorШаблон:Su(A, B) = 0 для всіх i > 0).

• Згідно загальних властивостей похідних функторів, кожна коротка точна послідовність 0 → K → L → M → 0 правих R-модулів породжує довгу точну послідовність виду

$\cdots \to {\mathrm{Tor}}_2^R(M,B)\to {\mathrm{Tor}}_1^R(K,B)\to {\mathrm{Tor}}_1^R(L,B)\to {\mathrm{Tor}}_1^R(M,B)\to K{\otimes }_{R}B\to L{\otimes }_{R}B\to M{\otimes }_{R}B\to 0,$

для будь-якого лівого R-модуля B. Аналогічна точна послідовність також є для Tor стосовно другої змінної.

• Симетричність: для комутативного кільця R, існує природний ізоморфізм TorШаблон:Su(A, B) ≅ TorШаблон:Su(B, A). (Для комутативного R немає потреби розрізняти ліві і праві R-модулі.)

• Якщо R є комутативним кільцем і елемент u не є дільником нуля, тоді для будь-якого R-модуля B маємо:

${\mathrm{Tor}}_i^R(R/(u),B)\cong \{\begin{array}{cc}B/uB& i=0\\ B[u]& i=1\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$ де

$B[u]=\{x\in B:ux=0\},$

є підгрупою u-кручення у B. Цей факт пояснює назву Tor. Для $R=\mathbb{Z},$ цей результат можна використати для обчислення ${\mathrm{Tor}}_1^{\mathbb{Z}}(A,B)$ для будь-якої скінченнопородженої абелевої групи A.

• ${\mathrm{Tor}}_i^{\mathbb{Z}}(A,B)=0$ для всіх i ≥ 2 оскільки кожна абелева група A має вільну резольвенту довжини 1, оскільки кожна підгрупа вільної абелевої групи є вільною абелевою групою.

• Для будь-якого кільця R, Tor зберігає прямі суми (можливо нескінченні) і фільтровані кограниці. Наприклад, по першій змінній це означає

$\begin{array}{cc}{\mathrm{Tor}}_i^R(\underset{\alpha }{⨁}{M}_{\alpha },N)& \cong \underset{\alpha }{⨁}{\mathrm{Tor}}_i^R(M_{\alpha },N)\\ {\mathrm{Tor}}_i^R(\underset{\alpha }{\underrightarrow{\lim }}{M}_{\alpha },N)& \cong \underset{\alpha }{\underrightarrow{\lim }}{\mathrm{Tor}}_i^R(M_{\alpha },N)\end{array}$

• Для комутативного кільця R, Tor комутує з операцією локалізації. Тобто для мультиплікативно замкнутої множини S у R, R-модулів A і B, і цілого числа i,

$S^{-1}{\mathrm{Tor}}_i^R(A,B)\cong {\mathrm{Tor}}_i^{S^{-1}R}(S^{-1}A,S^{-1}B).$

Важливі окремі випадки

• Гомологія груп є рівною $H_{*}(G,M)={\mathrm{Tor}}_{*}^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},M),$ де G є групою, M є представленням G над цілими числами, і $\mathbb{Z}[G]$ є груповим кільцем G.

• Для алгебри A над кільцем R і A-бімодуля M, гомологія Хохшильда є рівною

$H{H}_{*}(A,M)={\mathrm{Tor}}_{*}^{A{\otimes }_R{A}^{\text{op}}}(A,M).$

• Гомологія алгебр Лі є рівною $H_{*}(𝔤,M)={\mathrm{Tor}}_{*}^{U𝔤}(R,M),$ де $𝔤$ є алгеброю Лі над комутативним кільцем R, M є $𝔤$-модулем, і $U𝔤$ є універсальною обгортуючою алгеброю.

• Для комутативного кільця R із гомоморфізмом на поле k, ${\mathrm{Tor}}_{*}^R(k,k)$ має структуру градуйовано-комутативної алгебри Гопфа над k. Якщо k має характеристику 0, вона є вільною градуйовано-комутативноо алгеброю на гомології Андре — Квіллена $D_{*}(k/R,k).$

Див. також

• Плоский модуль
• Похідний функтор
• Функтор Ext

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation*Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation