Піфагорові середні

Геометричне представлення різних математичних середніх. a, b - два числа. A = арифметичне середнє чисел 'a' і 'b'. G = геометричне середнє, H = гармонійне середнє, Q = середнє квадратичне

Порівняння арифметичних, геометричних і гармонійних середніх пар чисел. Вертикальні пунктирні лінії є асимптотами для гармонійних.

У математиці три класичні засоби Піфагорових середніх: середнє арифметичне (AM), середнє геометричне (GM) і середнє гармонійне (HM). Ці засоби були пропорційно вивчені піфагорійцями разом з пізнішим поколінням грецьких математиків, через їхню важливість у геометрії та музиці.

Визначення

Вони визначаються так:

$\begin{array}{cc}\mathrm{AM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{1}{n}(x_1+\cdots +x_n)\\ \mathrm{GM}(x_1,\dots ,x_n)& =\sqrt[n]{|x_1\times \cdots \times x_n|}\\ \mathrm{HM}(x_1,\dots ,x_n)& =\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\cdots +\frac{1}{x_n}}\end{array}$

Властивості

Кожне значення $\mathrm{M}$ має наступні властивості:

Збереження цінності

$\mathrm{M}(x,x,\dots ,x)=x$

Однорідна функція першої послідовності

$\mathrm{M}(b{x}_1,\dots ,b{x}_n)=b\mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)$

Інваріантність при перестановці

$\mathrm{M}(\dots ,x_i,\dots ,x_j,\dots )=\mathrm{M}(\dots ,x_j,\dots ,x_i,\dots )$

для будь-якої $i$ та $j$.

Виведення середньої величини

$\min (x_1,\dots ,x_n)\le \mathrm{M}(x_1,\dots ,x_n)\le \max (x_1,\dots ,x_n)$

Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один одного для позитивних аргументів:

$\mathrm{HM}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{AM}(x_1,\dots ,x_n)}$

в той час як середнє геометричне — це його власна взаємна подвійність:

$\mathrm{GM}(\frac{1}{x_1},\dots ,\frac{1}{x_n})=\frac{1}{\mathrm{GM}(x_1,\dots ,x_n)}$

Нерівності серед середніх

Існує впорядкування цих середніх (якщо всі $x_i$ позитивні)

$\min \le \mathrm{HM}\le \mathrm{GM}\le \mathrm{AM}\le \max$

з рівноправністю, тільки якщо всі $x_i$ рівні.

Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності, $\mathrm{AM}\le \max$ та взаємної подвійності ($\min$ і $\max$ також взаємні подвійні).

Вивчення піфагорових середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації й Шаблон:Iw. Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.

Посилання

• Шаблон:MathWorld (на англ.)
• Nice comparison of Pythagorean means with emphasis on the harmonic mean (на англ.)