Алгебра Каца — Муді

Алгебрами Каца — Муді називаються загалом нескінченновимірні алгебри Лі, що є узагальненнями напівпростих скінченновимірних алгебр Лі. Як і напівпрості скінченновимірні алгебри Лі, алгебри Каца — Муді можна задати за допомогою співвідношень Серра, лише замість матриці Картана коефіцієнти у цих співвідношеннях є елементами деякої більш загальної матриці. Напівпрості алгебри Лі є єдиними прикладами скінченновимірних алгебр Каца — Муді.

У цій статті всюди де не вказано інше усі об'єкти розглядаються над алгебрично замкнутим полем K характеристика якого є рівною 0.

Побудова

Узагальнені матриці Картана

Матриця $A=(A_{i,j})$ розмірності $n\times n$ називається узагальненою матрицею Картана, якщо

• Коефіцієнти матриці $A_{i,j}\in \mathbb{Z}$ для всіх $i,j=1,\dots ,n$
• $A_{i,i}=2$ для всіх $i=1,\dots ,n$
• $A_{i,j}\le 0$ для всіх $i,j=1,\dots ,n,i=j$
• $A_{i,j}=0$ тоді і тільки тоді, коли $A_{j,i}=0$ для всіх $i,j=1,\dots ,n$.

Матриця Картана системи коренів напівпростої алгебри Лі задовольняє всі ці властивості і вона є частковим прикладом узагальненої матриці Картана.

Дві узагальнені $n\times n$-матриці Картана $A=(A_{i,j})$ і $A^{\prime }=(A{\text{'}}_{i,j})$ називаються еквівалентними, якщо існує перестановка $\sigma$ елементів $\{1,\dots ,n\}$ при якій $A{\text{'}}_{i,j}=A_{\sigma (i),\sigma (j)}.$

Узагальнена матриця Картана називається розкладною, якщо вона є еквівалентною матриці виду

$\left(\begin{array}{cc}{A}_1& 0\\ 0& A_2\end{array}\right)$

для деяких матриць $A_1$ і $A_2$ (які теж будуть узагальненими матрицями Картана). В іншому випадку матриця називається нерозкладною.

Реалізація матриці

Для узагальненої матриці $A=(A_{i,j})$ розмірності $n\times n$ введемо

• Скінченновимірний $K$-векторний простір $H$
• Лінійно незалежні вектори ${\mathrm{\Pi }}^{\vee }=\{h_1,\dots ,h_n\}\subset H$,
• Лінійно незалежні елементи спряженого простору $\mathrm{\Pi }=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\}\subset H^{*}$, для яких $A_{i,j}={\alpha }_j(h_i)$ для всіх $i,j=1,\dots ,n.$

Тоді $(H,{\mathrm{\Pi }}^{\vee },\mathrm{\Pi })$ називається реалізацією матриці $A$. Найменша можлива розмірність простору $H$ є рівною $2n-\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A),$ де $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{g}(A)$ позначає ранг матриці. До того ж дві такі реалізації $(H_1,{\mathrm{\Pi }}_1^{\vee },{\mathrm{\Pi }}_1)$ і $(H_2,{\mathrm{\Pi }}_2^{\vee },{\mathrm{\Pi }}_2)$ мінімальної розмірності є ізоморфними, тобто існує лінійне відображення $\phi :H_1\to H_2,$ що переводить ${\mathrm{\Pi }}_1^{\vee }$ у ${\mathrm{\Pi }}_2^{\vee }$ і спряжене відображення переводить ${\mathrm{\Pi }}_2$ у ${\mathrm{\Pi }}_1.$ Тобто існує єдиний клас ізоморфізму мінімальних реалізацій.

Задання алгебр Лі

Нехай $A=(A_{i,j})$ — узагальнена матриця Картана розмірності $n\times n$ і $(H,{\mathrm{\Pi }}^{\vee }=\{h_1,\dots ,h_n\},\mathrm{\Pi }=\{{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\})$ — її мінімальна реалізація. На основі цієї мінімальної реалізації можна побудувати вільну алгебру Лі породжену множиною

$X=\{e_1,\dots ,e_n,f_1,\dots ,f_n\}\cup \{\tilde{x}\mid x\in H\}$.

На цій алгебрі можна розглянути множину співвідношень

• $\tilde{x}-\lambda \tilde{y}-\mu \tilde{z}$   для всіх $x,y,z\in H,\lambda ,\mu \in ℂ$   mit $x=\lambda x+\mu z$
• $[\tilde{x}\tilde{y}]$   для всіх   $x,y\in H$
• $[e_i{f}_i]-\widetilde{h_i}$   для всіх   $i=1,\dots ,n$
• $[e_i{f}_j]$   для всіх   $i,j=1,\dots ,n,i=j$
• $[\tilde{x}{e}_i]-{\alpha }_i(x)$   для всіх   $i=1,\dots ,n,x\in H$
• $[\tilde{x}{f}_i]+{\alpha }_i(x)$   для всіх   $i=1,\dots ,n,x\in H$

Нехай ця множина позначається $R.$ і $\tilde{L}(A):=L(X;R)$— алгебра Лі задана породжуючими елементами із множини $X$ і множиною співвідношень $R.$ При цьому відображення $H\mapsto \tilde{H}:=\{\tilde{x}\mid x\in H\},x\mapsto \tilde{x}$ задає ізоморфізм алгебр Лі.

Означення алгебр Каца — Муді

Для узагальненої матриці Картана $A=(A_{i,j})$ із побудованими вище алгебрами $\tilde{L}(A)$ і $\tilde{H}$ нехай I — єдиний максимальний ідеал для якого $I\cap \tilde{H}=\{0\}.$ Тоді алгебра Лі

$L(A):=\tilde{L}(A)/I$

називається алгеброю Каца — Муді для матриці $A$.

Клас ізоморфізмів алгебри Лі $L(A)$ залежить лише від класу еквівалентності узагальнених матриць Картана. Якщо $A$ є звичайною матрицею Картана, то алгебра Каца — Муді матриці $A$ є ізоморфною скінченновимірній напівпростій алгебрі Лі.

Узагальнена матриця Картана A називається симетризовною якщо існують такі невироджена діагональна матриця D (яку можна обрати так щоб всі її діагональні елементи були додатними) і симетрична матриця S (яку можна обрати так щоб всі її елементи були раціональними числами) такі, що A = DS.

У випадку алгебр Каца — Муді для симетризовних матриць $A=(A_{i,j})$ означення можна дати за допомогою множини $X=\{e_1,\dots ,e_n,h_1,\dots ,h_n,f_1,\dots ,f_n\}$ породжуючих елементів і співвідношень

$[h_i,h_j]$

$[h_i,e_j]-A_{i,j}{e}_j$

$[h_i,f_j]+A_{i,j}{f}_j$

$[e_i,f_i]-h_i$

$[e_i,f_j]$   для   $i=j$

$[e_i,[e_i[\dots [e_i,e_j]]]$   для $i=j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $e_i$

$[f_i,[f_i[\dots [f_i,f_j]]]$   для $i=j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $f_i$

У випадку симетризовних матриць Картана ці два означення є еквівалентними. Зокрема два останні типи елементів породжуєть максимальний ідеал I. Іноді друге означення також використовується і у загальному випадку.

Три типи алгебр Каца — Муді

Алгебри Каца - Муді поділяються на три типи залежно від властивостей їх узагальнених матриць Картана:

• Алгебра називається алгеброю скінченного типу, якщо її матриця Картана є додатноозначеною.
• Алгебра називається алгеброю афінного типу, якщо її матриця Картана є напівдодатноозначеною корангу 1, тобто її визначник дорівнює 0 але всі власні головні мінори не є нульовими.
• Алгебра називається алгеброю невизначеного типу, якщо її узагальнена матриця Картана не задовольняє вказані властивості.

Можна надати еквівалентні характеристики:

• $A$ є матрицею алгебри скінченного типу, якщо існує $u\in {ℝ}^n$ для якого $u>0$ і $Au>0$
• $A$ є матрицею алгебри афінного типу, якщо існує $u\in {ℝ}^n$ для якого $u>0$ і $Au=0$
• $A$ є матрицею алгебри невизначеного типу, якщо існує $u\in {ℝ}^n$ для якого $u>0$ і $Au<0$

Діаграми Динкіна

Так само, як і в теорії скінченновимірних напівпростих алгебр Лі, для кожної узагальненої $n\times n$-матриці Картана $A=(A_{i,j})$ можна побудувати узагальнення діаграми Динкіна, згідно таких правил:

• Вершини графу позначаються $1,\dots ,n$ і відповідають рядкам і стовпцям матриці.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=0$, то вершини $i$ і $j$ не сполучаються ребрами.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=1$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються одним ребром.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=2$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються двома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-2$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=3$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-3$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=4$ і $|A_{i,j}|=|A_{j,i}|$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються трьома ребрами. На них додається стрілка > у напрямку вершини $i$, якщо $A_{i,j}=-4$ і $A_{j,i}=-1$.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}=4$ і $A_{i,j}=A_{j,i}=-2$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються двома ребрами. На них додаються дві стрілки, > і <, як на малюнку.
• Якщо $A_{i,j}{A}_{j,i}\ge 5$, то вершини $i$ і $j$ сполучаються ребром із записом чисел $|A_{i,j}|$ і $|A_{j,i}|$ на ньому.

Узагальнену матрицю Картана завжди можна відновити за допомогою діаграми Динкіна. Матриця буде нерозкладною тоді і тільки тоді коли відповідних граф буде зв'язним.

Корені і кореневий розклад алгебр Каца — Муді

$\tilde{H}$ є аналогом підалгебри Картана для $L(A)$.

Якщо $x\ne 0$ є елементом $L(A)$ для якого

$\mathrm{\forall }h\in \tilde{H},[h,x]=\lambda (h)x$

для деякого $\lambda \in {\tilde{H}}^{*}\mathrm{\setminus }\{0\}$, то $x$ називається кореневим вектором і $\lambda$ коренем алгебри $L(A)$. (За означенням нульовий функціонал не вважається коренем.) Множина всіх коренів $L(A)$ позначається $\mathrm{\Delta }$ або $R$. Для даного кореня $\lambda$ one denotes by $L(A{)}_{\lambda }$ позначає кореневий простір кореня $\lambda$, тобто

$L(A{)}_{\lambda }=\{x\in L(A):\mathrm{\forall }h\in \tilde{H},[h,x]=\lambda (h)x\}$.

Із системи співвідношень для $L(A)$ випливає, що $e_i\in L(A{)}_{{\alpha }_i}$ і $f_i\in L(A{)}_{-{\alpha }_i}$. Також якщо $x_1\in L(A{)}_{{\lambda }_1}$ і $x_2\in L(A{)}_{{\lambda }_2}$, то $[x_1,x_2]\in {𝔤}_{{\lambda }_1+{\lambda }_2}$.

Для алгебри Каца — Муді існує кореневий розклад у пряму суму $\tilde{H}$ і кореневих просторів, тобто:

$L(A)=\tilde{H}\oplus \underset{\lambda \in \mathrm{\Delta }}{⨁}L(A{)}_{\lambda }$,

і кожен корінь $\lambda$ можна записати як суму $\lambda =\sum _{i=1}^n{z}_i{\alpha }_i$ де всі $z_i$ є цілими числами із однаковим знаком.

Для фундаментальних коренів ${\alpha }_i$ розмірності їх кореневих просторів є рівними 1. Це ж справедливо і для коренів одержаних із фундаментальних дією (узагальненої) групи Вейля (для напівпростих алгебр Лі всі корені задовольняють цю властивість). Для цих коренів (вони називаються дійсними) єдиними коренями на прямій $ℝ\lambda$ є $\lambda$ і $-\lambda .$ Натомість для інших коренів (вони називаються уявними) усі $\mathbb{Z}\lambda \setminus 0$ є коренями.

Для симетризовних узагальнених матриць Картана існує білінійна форма на $L(A),$ що є узагальненням форми Кіллінга і її обмеження на $\tilde{H}$ є невиродженою формою. Її стандартно можна перенести також на двоїстий простір. Тоді корінь $\lambda$ буде дійсним тоді і тільки тоді коли $(\lambda ,\lambda )>0$ в іншому випадку він буде уявним.

• Для алгебр скінченного типу (тобто напівпростих алгебр Лі) усі корені є дійсними.
• Для алгебр афінного типу існує $u\in {ℝ}^n$ для якого $u>0$ і $Au=0.$ Ці вектори визначені з точністю до множення на додатний скаляр, зокрема існує єдиний такий вектор $u=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ елементами якого є цілі взаємно прості числа. Якщо позначити $\delta =\sum _{i=1}^n{a}_i{\alpha }_1$ то усі уявні корені $Au$ мають вигляд $k\delta ,k\in \mathbb{Z}\setminus 0.$

Див. також

• Вільна алгебра Лі
• Матриця Картана
• Напівпроста алгебра Лі

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book