Вільна алгебра Лі

У математичній теорії алгебр Лі вільна алгебра Лі є вільним об'єктом у категорії алгебр Лі із гомоморфізмами Лі. Виходячи з вільної алгебри, можна побудувати алгебри Лі з заданими генераторами і співвідношеннями подібно до задання групи.

Означення

Універсальна властивість

Вільною алгеброю Лі $FL(X)$ породженою множиною $X$ називається алгебра Лі, що задовольняє універсальну властивість:

Існує вкладення $X\to FL(X)$ і якщо $\theta :X\to L$ є вкладенням множини $X$ у довільну алгебру Лі $L,$ то існує єдиний гомоморфізм алгебр Лі $\phi :FL(X)\to L$, для якого $\phi \circ i=\theta$.

Із універсальної властивості випливає ізоморфізм усіх вільних алгебр Лі породжених множиною $X.$ Прямі побудови подані нижче показують існування вільних алгебр Лі.

Пряма побудова

Нехай $K$ позначає довільне поле. Для множини $X=\mathrm{\varnothing }$ позначимо $A(X)$ вільну асоціативну K-алгебру породжену множиною $X$ і $i:X\to A(X)$ — відображення вкладення. На цій алгебрі можна ввести комутатор

$[a,b]:=a\cdot b-b\cdot a,a,b\in A(X)$

і з цією операцією $A(X)$ є алгеброю Лі. Визначимо

$FL(X):=\bigcap \{L|L\subset A(X),i(X)\subset L\}$

де перетин береться по всіх підалгебрах Лі у $A(X),$ що містять $i(X).$.

$FL(X)$ є вільною алгеброю Лі породженою множиною $X$.

Згідно з побудовою $i(X)\subset FL(X)$ і $i$ можна розглядати як вкладення $X\to FL(X).$

Альтернативна побудова Бурбакі

Бурбакі подав альтернативну конструкцію вільної алгебри Лі. Для непорожньої множини $X$ і $M(X)$— то вільна магма на $X$ і $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{b}(X)$— асоціативна алгебра із базисом $M(X)$ із продовженням множення по лінійності. В ньому розглядається ідеал $I\subset \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{b}(X)$, породжений усіма елементами виду

$a\cdot a,a\in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{b}(X)$

$a\cdot (b\cdot c)+b\cdot (c\cdot a)+c\cdot (a\cdot b),a,b,c\in \mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{b}(X).$

Тоді $\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{b}(X)/I$ є вільною алгеброю породженою множиною $X$.

Приклади і властивості

• Якщо $X=\{x\}$ є одноелементною множиною, то $A(\{x\})$ є алгебрі многочленів від однієї змінної $x$. З введеним вище комутатором $A(\{x\})$ є комутативною алгеброю Лі. За означенням $FL(\{x\})$ є найменшою підалгеброю Лі, що містить $i(x)$ і такою очевидно є $K\cdot i(x)$. Тому $FL(\{x\})\cong K$ тривіальній одновимірній алгебрі Лі.

• Універсальна обгортуюча алгебра алгебри $FL(X)$ є рівною $𝒰(FL(X))\cong A(X)$.

Породжуючі елементи і співвідношення

Нехай $X$ непорожня множина. Мономом Лі називається скінченна послідовність дужок Лі з елементів $X$. Прикладом моному Лі може бути

$[[[x_1,x_2],x_1],[x_1,x_3]],x_1,x_2,x_3\in X$,

Словом Лі називається скінченна лінійна комбінація мономів Лі. Наприклад

$7\cdot [[[x_1,x_2],x_1],[x_1,x_3]]-[[[[x_1,x_1],x_1],x_1],x_2],x_1,x_2,x_3\in X$.

Для множини $R$ слів Лі у множині $X$ позначимо $⟨R⟩\subset FL(X)$ найменший ідеал, що містить множину $R\subset FL(X)$. Тоді факторалгебра Лі

$L(X;R):=FL(X)/⟨R⟩$

є заданою породжуючою множиною $X$ і співвідношеннями $R$.

Приклади

• $L(X;\mathrm{\varnothing })=FL(X)$, оскільки ідеалом у цьому випадку є $\{0\}$.

• Нехай елементами $R$ є всі вирази виду $[x_1,x_2],x_1,x_2\in X$. Тоді $L(X;R)$ є комутативною алгеброю для якої елементи $X$ утворюють базис векторного простору.

• Нехай маємо множину $X=\{e_1,\dots ,e_n,h_1,\dots ,h_n,f_1,\dots ,f_n\}$ і $A_{i,j}$ деякі цілі константи, менші або рівні 0 для різних індексів.

Нехай $R$ породжена елементами

$[h_i,h_j]$

$[h_i,e_j]-A_{i,j}{e}_j$

$[h_i,f_j]+A_{i,j}{f}_j$

$[e_i,f_i]-h_i$

$[e_i,f_j]$   для   $i=j$

$[e_i,[e_i[\dots [e_i,e_j]]]$   для $i=j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $e_i$

$[f_i,[f_i[\dots [f_i,f_j]]]$   для $i=j$ і $1-A_{i,j}$ входжень елементів $f_i$

Дані співвідношення називаються співвідношеннями Серра. Якщо $A_{i,j}$ є коефіцієнтами матриці Картана то $L(X;R)$ є скінченновимірною напівпростою алгеброю Лі з даною матрицею Картана. Ці співвідношення таким чином використовуються для доведення існування напівпростих алгебр Лі для будь-якої системи коренів.. Для більш загального типу матриць ці ж співвідношення використовуються для означення алгебр Каца — Муді.

Див. також

• Задання групи
• Універсальна обгортуюча алгебра

Література

• Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation