Абелева категорія

Абелева категорія — категорія, в якій морфізми можна додавати, існують ядра і коядра і при цьому виконуються деякі додаткові властивості. Прикладом, який став прототипом абелевої категорії є категорія абелевих груп. Поняття абелевої категорії було запропоновано Девідом Бухсбаумом у 1955 році (він використовував назву «точна категорія»). Згодом теорія була розроблена незалежно Александром Гротендіком для об'єднання декількох теорій когомологій. У той час існувала теорія когомологій пучків на алгебричних многовидах і теорія когомологій груп. Ці теорії вводилися по-різному, але мали подібні властивості. Гротендіку вдалося об'єднати ці теорії; обидві вони можуть бути визначені за допомогою похідних функторів на абелевій категорії пучків і абелевій категорії модулів відповідно.

Означення

Нижче подано два означення друге з яких є лише для локально малих категорій. У цьому випадку два означення є еквівалентними.

Перше означення

Категорія є абелевою, якщо:

• У ній існує нульовий об'єкт,
• Існують усі бінарні добутки і кодобутки,
• Для кожного морфізму існує ядро й коядро,
• Усі мономорфізми й епіморфізми є нормальними.

Друге означення

Локально мала категорія $𝒞$ називається абелевою, якщо:

• Для всіх об'єктів $X,Y\in \mathrm{Ob}𝒞$ на множині ${\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$ можна ввести структуру абелевої групи.
• Для морфізмів $f,f_1,f_2\in {\mathrm{Hom}}_{𝒞}(X,Y)$ і $g,g_1,g_2\in {\mathrm{Hom}}_{𝒞}(Y,Z)$ виконуються рівності $g\circ (f_1+f_2)=(g\circ f_1)+(g\circ f_2)$ і $(g_1+g_2)\circ f=(g_1\circ f)+(g_2\circ f)$ (білінійність). Категорія, що задовольняє цим властивостям, називається преаддитивною.
• Для довільної скінченної кількості об'єктів існує біпродукт — об'єкт, що є одночасно добутком і кодобутком об'єктів. Зокрема, у категорії є нульовий об'єкт — добуток порожньої множини об'єктів. Категорія, що задовольняє всі наведені властивості, називається аддитивною.
• Для кожного морфізму існує ядро й коядро.
• Всі мономорфізми і епіморфізми є нормальними.

Приклади

• Категорія абелевих груп є абелевою. Категорія скінченнопороджених абелевих груп також є абелевою, як і категорія скінченних абелевих груп.
• Якщо $R$ — кільце, то категорія лівих (або правих) модулів над $R$ є абелевою. Згідно з теоремою Фрейда — Мітчелла про вкладення, будь-яка мала абелева категорія є еквівалентною повній підкатегорії категорії модулів.
• Якщо $R$ — нетерове зліва кільце, то категорія скінченнопороджених лівих $R$-модулів є абелевою. Зокрема, категорія скінченнопороджених модулів над нетеровим комутативним кільцем є абелевою.
• Категорії векторних росторів і скінченновимірних векторних просторів над довільним полем є абелевими.
• Якщо $X$ — топологічний простір, то категорія пучків абелевих груп на $X$ є абелевою.
• Якщо $X$ — топологічний простір, то категорія векторних розшарувань на $X$ зазвичай не є абелевою, оскільки можуть існувати мономорфізми, що не є ядрами.

Аксіоми Гротендіка

У статті Sur quelques points d'algebre homologique Гротендік запропонував кілька додаткових аксіом, які можуть виконуватися в абелевій категорії $𝒜$.

• AB3) Для будь-якої множини об'єктів $(A_i{)}_{i\in I}$ категорії $𝒜$ існує кодобуток $\oplus A_i$. Дана аксіома еквівалентна коповноті абелевої категорії $𝒜$ Шаблон:Sfn.
• AB4) $𝒜$ задовольняє аксіомі AB3) і кодобуток будь-якої сім'ї мономорфізмів є мономорфізмом (тобто кодобуток є точним функтором).
• AB5) $𝒜$ задовольняє аксіомі AB3) і Шаблон:Нп точних послідовностей є точними. Еквівалентно, для будь-якої ґратки $(A_i{)}_{i\in I}$ підоб'єктів об'єкта $A$ і будь-якого $B$ — підоб'єкта об'єкта $A$ справедливою є рівність $\sum (A_i\cap B)=\sum (A_i)\cap B.$

Аксіоми AB3 *), AB4 *) і AB5 *) отримуються з наведених вище аксіом як двоїсті їм (тобто заміною кограниці на границі. Аксіоми AB1) і AB2) — стандартні аксіоми, які виконуються в будь-якій абелевій категорії (точніше, абелева категорія є адитивною категорією, яка задовольняє цим аксіомам):

• AB1) У будь-якого морфізму існує ядро й коядро.
• AB2) Для будь-якого морфізму $f:A\to B$ канонічний морфізм з $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{m}f$ в $\mathrm{i}\mathrm{m}f$ є ізоморфізмом.

Гротендік також формулював сильніші аксіоми AB6) і AB6 *), проте не використовував їх у цій роботі. Зокрема AB6) мала вигляд

• AB6) A задовольняє AB3), і для сім'ї фільтрованих категорій $I_j,j\in J$ і відображень $A_j:I_j\to A$, виконується $\prod _{j\in J}\underset{I_j}{\lim }{A}_j=\underset{I_j,\mathrm{\forall }j\in J}{\lim }\prod _{j\in J}{A}_j$, де lim позначає фільтровану кограницю.

Властивості

• Клас абелевих категорій замкнутий щодо кількох категорних конструкцій; наприклад, категорія ланцюгових комплексів з елементами з абелевої категорії і категорія функторів з малої категорії в абелеву також є абелевими.

• Для пари об'єктів A, B в абелевій категорії, існує нульовий морфізм з A у B. Він є нульовим елементом Hom(A,B), що є абелевою групою. Також за означенням він є рівним композиції A → 0 → B, де 0 є нульовим об'єктом абелевої категорії.

• В абелевій категорії кожен морфізм f є рівним композиції епіморфізму і мономорфізму. Епіморфізм називається кообразом f, а мономорфізм — образом f.

• У локально малій категорії підоб'єкти довільного об'єкту утворюють модулярну ґратку.

Див. також

• Абелева група
• Теорія категорій

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Посилання

• Абелева категорія Шаблон:Webarchive // ВУЕ